円の方程式(複素数平面)

上野竜生です。複素数平面上で円の方程式を表す方法を2つ紹介します。
 円の方程式(複素数平面)
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複素数平面上で円の方程式を表す

ケース1 |z-α|=r

これはほとんど自明ですね。αを中心とする半径rの円になります。

ケース2 m|z-α|=n|z-β|

これは数IIの軌跡のところでやったと思いますがαとβの距離の比がn:mになるような点の軌跡,つまりn=mのときは垂直二等分線で,n≠mのときはアポロニウスの円でしたね。
 ということはαとβをn:mに内分する点とn:mに外分する点を直径とする円になります。
次の例題で確認してみましょう。解法1はアポロニウスの円を使っています。
解法2のようにうまく式変形すればケース1のような|z-α|=rの形に変形することができますし解法3のようにxy座標で考えることもできます。

例題

|z-3i|=2|z+3|はどのような図形を表すか?

解法1 アポロニウスの円

答え式の形から3iと-3との距離が2:1になる点の軌跡を表す。
3iと-3を2:1に内分する点は-2+i
3iと-3を2:1に外分する点は-6-3iなので
-2+iと-6-3iを直径の両端とする円
中心と半径を求めておくと
中心は-2+iと-6-3iの中点なので-4-i
半径は中心と-2+iもしくは-6-3iとの距離なので\(2\sqrt{2} \)
つまり-4-iを中心とする半径\(2\sqrt{2} \)の円となります。

解法2 式変形

答え両辺は0以上なので2乗すると
\( |z-3i|^2=4|z+3|^2 \)
\( (z-3i) \overline{(z-3i)}=4(z+3)\overline{(z+3)} \)
\( (z-3i)(\overline{z}+3i)=4(z+3)(\overline{z}+3) \)
\( |z|^2-3i\overline{z} +3iz+9 = 4|z|^2+12z+12\overline{z}+36 \)
\( 3|z|^2+(12-3i)z+(12+3i)\overline{z} +27=0 \)
\( |z|^2+\overline{(4+i)}z+(4+i)\overline{z} +9=0 \)
\( (z+4+i) \overline{(z+4+i)}=8 \)
\( |z+4+i|^2=2\sqrt{2} \)
よって-4-iを中心とする半径\(2 \sqrt{2} \)の円

解法3 z=x+yiとおく

答え|z-3i|=|x+(y-3)i| , 2|z+3|=|2z+6|=|(2x+6)+2yi|なので
\(\displaystyle \sqrt{x^2 + (y-3)^2}=\sqrt{(2x+6)^2 + (2y)^2} \)
両辺は0以上なので両辺を2乗すると
\(x^2+ (y-3)^2 = (2x+6)^2 + (2y)^2 \)
\( x^2+y^2-6y+9 = 4x^2+ 24x +36+4y^2 \)
\( 3x^2+24x+3y^2+6y+27=0 \)
\( x^2+8x+y^2+2y+9=0 \)
\( (x+4)^2+(y+1)^2=8 \)
よって-4-iを中心とする半径\(2\sqrt{2} \)の円

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