当サイトは、PRを含む場合があります。
上野竜生です。複素数平面上で円の方程式を表す方法を2つ紹介します。
 円の方程式(複素数平面)

複素数平面上で円の方程式を表す

ケース1 |z-α|=r

これはほとんど自明ですね。αを中心とする半径rの円になります。

ケース2 m|z-α|=n|z-β|

これは数IIの軌跡のところでやったと思いますがαとβの距離の比がn:mになるような点の軌跡,つまりn=mのときは垂直二等分線で,n≠mのときはアポロニウスの円でしたね。
 ということはαとβをn:mに内分する点とn:mに外分する点を直径とする円になります。
次の例題で確認してみましょう。解法1はアポロニウスの円を使っています。
解法2のようにうまく式変形すればケース1のような|z-α|=rの形に変形することができますし解法3のようにxy座標で考えることもできます。
広告

例題

|z-3i|=2|z+3|はどのような図形を表すか?

解法1 アポロニウスの円

答え式の形から3iと-3との距離が2:1になる点の軌跡を表す。
3iと-3を2:1に内分する点は-2+i
3iと-3を2:1に外分する点は-6-3iなので
-2+iと-6-3iを直径の両端とする円
中心と半径を求めておくと
中心は-2+iと-6-3iの中点なので-4-i
半径は中心と-2+iもしくは-6-3iとの距離なので\(2\sqrt{2} \)
つまり-4-iを中心とする半径\(2\sqrt{2} \)の円となります。

解法2 式変形

答え両辺は0以上なので2乗すると

\( |z-3i|^2=4|z+3|^2 \)
\( (z-3i) \overline{(z-3i)}=4(z+3)\overline{(z+3)} \)
\( (z-3i)(\overline{z}+3i)=4(z+3)(\overline{z}+3) \)
\( |z|^2-3i\overline{z} +3iz+9 = 4|z|^2+12z+12\overline{z}+36 \)
\( 3|z|^2+(12-3i)z+(12+3i)\overline{z} +27=0 \)
\( |z|^2+\overline{(4+i)}z+(4+i)\overline{z} +9=0 \)
\( (z+4+i) \overline{(z+4+i)}=8 \)
\( |z+4+i|=2\sqrt{2} \)

よって-4-iを中心とする半径\(2 \sqrt{2} \)の円

解法3 z=x+yiとおく

答え|z-3i|=|x+(y-3)i| , 2|z+3|=|2z+6|=|(2x+6)+2yi|なので

\(\displaystyle \sqrt{x^2 + (y-3)^2}=\sqrt{(2x+6)^2 + (2y)^2} \)

両辺は0以上なので両辺を2乗すると

\(x^2+ (y-3)^2 = (2x+6)^2 + (2y)^2 \)
\( x^2+y^2-6y+9 = 4x^2+ 24x +36+4y^2 \)
\( 3x^2+24x+3y^2+6y+27=0 \)
\( x^2+8x+y^2+2y+9=0 \)
\( (x+4)^2+(y+1)^2=8 \)

よって-4-iを中心とする半径\(2\sqrt{2} \)の円

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。