相加相乗平均の関係の証明
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上野竜生です。前回，相加相乗平均の基本的な使い方を解説しました。そのときに証明を後回しにしてましたが，今回はその証明について述べていきます。 2変数の場合 示すべき式は次の通りです。 \(a>0 ,b>0\) […]
Author: 上野竜生
数学的帰納法 基本と応用
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上野竜生です。数学的帰納法はほぼワンパターンで解けます。ただし応用もあるのでここで紹介しようと思います。 基本パターン 1) n=1のときに成立を示す。 2) n=kのときに成立するならばn=k+1のときも成立 を示す。 […]
相加相乗平均の関係の正しい使い方
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上野竜生です。相加相乗平均の関係はよく使いますがいろいろな落とし穴があります。落とし穴にはまらないように気を付けましょう。 相加相乗平均の関係とは 相加相乗平均の関係とは次の性質です。出てくる文字はすべて正の数とします。 […]
被積分関数が絶対値付きの定積分
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上野竜生です。絶対値がついた積分を計算する問題はたまに出ますが勘違いしている人も多いようなので正しい計算方法を紹介します。 まずは絶対値を外すこと ∫|f(x)|dxを計算するときまずはy=| […]
定積分を含む関数漸化式
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上野竜生です。定積分を含む関数漸化式の解き方を紹介します。今回は例題１つだけなので解説することは少な目です。 例題 関数列fn(x)はすべてxの1次関数で次の漸化式を満たす。fn(x)を求めよ […]
三角不等式を解くやり方
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上野竜生です。三角方程式は解けるのに三角不等式は解けない（符号の向きを間違える）という人のために解き方を紹介したいと思います。 まず，三角方程式は解けるということが前提になります。 基本的な式で間違えない たとえば \( […]
データの分析(数I範囲) 練習問題
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上野竜生です。データの分析の基本事項は２ページにわたりかなり解説しました。応用すればかなり解けるはずなのですが応用パターンをあまり紹介していません。ですが応用パターン１つ１つを１ページにすると長くなるので実戦形式（クイズ […]
三角関数の公式まとめ
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上野竜生です。三角関数の公式をいくつかまとめましたので覚えましょう。基本的に証明は他のページで行い，ここでは結果のみを記します。 レベル１ 絶対覚える公式 sin,cosの定義 0,30,45,60,90°の値（覚えなく […]
正五角形の長さや面積の導出
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上野竜生です。正五角形は対角線も含めたあらゆる角度が36°の倍数になっています。角度に注意すればすぐに相似な図形が見つかります。 ただし，36°の倍数の三角関数は求められなくはないですが複雑なので求めさせることは少ないで […]
三角形の面積の求め方まとめ
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上野竜生です。三角形の面積を求める公式はたくさんあります。大学受験の範囲で使えそうなものをいくつかまとめました。 パターン１(基本)：底辺×高さ÷2 当たり前ですね。ただし「底辺」「高さ」をどう見るかによっていろいろな解 […]
三角形の面積の三角比を用いた公式
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上野竜生です。三角形の面積を三角比で解く方法について考えていきたいと思います。 三角形の面積の公式 2辺の長さがa,bでその間の角がθである三角形の面積をSとするとき \( S=\frac{ […]
1辺aの正四面体の長さ・面積・体積・2平面のなす角度などまとめ
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上野竜生です。1辺がaの正四面体の長さや表面積などに関するものを求めてみました。比較的求めやすいもの・試験問題に出やすいものから解説していきます。 表面積は\( \sqrt3 a^2 \) 1辺aの正三角形の面積の公式よ […]
数検1級の積分(複素積分)
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上野竜生です。数学検定１級で複素積分を使うことはほぼないと思いますができたほうが早いときもありますので少し説明しておきます。 複素積分の２パターン パターン１：\(z=Re^{i\theta} \)とおいて半円で積分(実 […]
因数定理の基本と応用
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上野竜生です。因数定理とは次の定理です。 多項式f(x)が(x-α)で割り切れる⇔f(α)=0 たったこれだけですがかなり使えます。実際に例題をいくつか見ていきましょう。 例題１ \( x^5+3x^2 \)を(x-1) […]
コーシーシュワルツの不等式と内積の関係
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上野竜生です。コーシーシュワルツの不等式は難関大学だとたまに出てきたりします。知っておくと便利ですし，内積と結び付ければ覚えやすいと思うので難関大学を狙う人は理解しましょう。 コーシーシュワルツの不等式（一般） \( \ […]