数IIIの極限の問題です。数列と関数の両方扱います。ハサミウチなどなかなかヒラメキも重要になってきて抽象度が1段上がった気がします。
極限の高校数学的定義と求める時の記述方法の基礎
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上野竜生です。極限の基礎を教えます。具体的な計算は次回に回し、当たり前に見える一般的な性質の紹介と、当たり前に成り立ちそうなのに実は成り立たない例などをクイズ形式でも紹介します。 定義 xをaに近づけるとf(x)がAに限 […]
数III 極限
数列の極限の求め方その1（分数式・有理化）
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上野竜生です。極限値を求める問題は記述するときに不十分な答案を書いてしまいがちです。わかってるのに点数にならないのはもったいないので答案の書き方を意識して解くようにしましょう。今回は数IIIレベル１つめの内容として分数式 […]
数列の極限の求め方その2（等比数列）
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上野竜生です。今回は極限の求め方のうち、等比数列に関連したものを扱います。 等比数列の極限の形が使えるようにする 使う公式は次の通りです。 \( -1<r<1 \)のとき\(r^n \to 0 […]
数列の極限の求め方その3 （追い出しの原理・ハサミウチの原理）
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上野竜生です。極限の求め方のうち追い出しの原理やハサミウチの原理を用いたものを紹介します。 追い出しの原理 追い出しの原理はたまに使いますが収束するときの定理ではありません。試験ではよく収束値を求めさせたり […]
数列の極限の求め方その4 （漸化式で与えられた場合）
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上野竜生です。an+1=f(an)で定められた数列で（一般項は出せないけど）極限だけ出せるタイプの問題を解説します。 一般項が求まる漸化式の場合 一般項を求めてから極限計算するだけです。ほとんどが数Bの範囲になるので何も […]
関数の極限の求め方 その１（定義と片側極限）
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上野竜生です。数列の極限のときに少しやりましたが関数にも極限があります。その求め方を紹介します。 基本的な解法 \( \displaystyle \lim_{x \to h} f(x) \)を […]
関数の極限の求め方その２ （分数関数・無理関数・指数関数）
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上野竜生です。関数の極限の求め方として数列と同様に求められるタイプのもの（多項式や分数関数・無理関数・指数関数などのもの）を扱います。基本的にはn→∞とx→∞は同じと考えてよいでしょう。 x→∞の極限・x→ […]
関数の極限その３ （三角関数の極限・sinx/xなどの導出と応用）
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上野竜生です。今回は関数の極限の中でsinx/xに関連するものを紹介します。 \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x} \)の導出 \(0 […]
関数の極限の求め方 その４ （eの定義や微分の定義を用いる）
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上野竜生です。今回は極限の定義のうちeや微分などの「定義」を使って求めるものを紹介します。 eの定義 eの定義とは次のものです。 \( \displaystyle e=\lim_{n \to \pm \in […]
関数の極限の求め方 その５ （積分を含んだ関数と区分求積法）
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上野竜生です。今回は極限の計算のうち積分を含んだものを紹介します。区分求積法が重要なので先に紹介し、あとで積分と微分の定義を用いたパターンも紹介します。 区分求積法 \( \displayst […]
極限が与えられたとき、未知数（係数や指数部分）を求める
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上野竜生です。今回は極限計算の結果から未知数を求める問題の解法を紹介します。例題１・２のような係数部分を求めるのも重要ですが例題３のようなタイプが難関大入試によく出題されます。 例題１ \(\displaystyle \ […]
連続の定義・性質と中間値の定理
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上野竜生です。今回は関数の連続性とその性質，あとは中間値の定理まで学習します。単純なことばかりですがなかなか奥が深いです。 連続の定義 関数f(x)がx=aで連続であるとは \(\displa […]
ロピタルの定理（練習問題付き）
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上野竜生です。今回はロピタルの定理を紹介します。結論部分は簡単なので暗記が楽ですが適用条件は複雑で、記述式で使う場合は適用条件もしっかり理解しておかなくてはいけません。答えのみや検算に使うならいくらでも使える便利な定理で […]