連続の定義・性質と中間値の定理

答え(1) x≠0,1では明らかに連続なのでx=0,1で連続か調べればよい。
つまり
\(\displaystyle \lim_{x \to -0} f(x)=f(0)=\lim_{x \to +0} f(x) \)と
\(\displaystyle \lim_{x\to 1-0} f(x)=f(1)=\lim_{x\to 1+0} f(x) \)が成り立てばよい。
\(\displaystyle \lim_{x\to -0} f(x)=f(0)=2b-ac \)
\(\displaystyle \lim_{x \to +0} f(x)=\sqrt{c} \)より
\(2b-ac=\sqrt{c} \)・・・①
\(\displaystyle \lim_{x\to 1-0} f(x)=\sqrt{b+c} , f(1)=3, \lim_{x\to 1+0} f(x)=a+1\)より
\(\sqrt{b+c}=3=a+1\)・・・②
②よりa=2,b+c=9を①に代入すると
\(2(9-c)-2c=\sqrt{c} \)
\(18-4c=\sqrt{c} \)・・・③
両辺2乗して
\( 16c^2-144c+324=c\)
\( (c-4)(16c-81)=0 \)
\( c=\frac{81}{16} \)を代入しても③は成り立たないので不適。よってc=4
以上よりa=2,b=5,c=4
(2)　明らかにx≠1では連続であるからx=1での連続性が成り立てばいい。
\(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=f(1)=c \)が成り立てばよい。
cは定数だから，分母→0(x→1)なので　分子→0(x→1)も必要。
よってa+b+1=0
これを代入すると
\(\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^2+ax-a-1}{|x-1|}=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+a+1)}{|x-1|} \)
ここで
\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0} \frac{(x-1)(x+a+1)}{|x-1|}=\lim_{x\to 1+0} x+a+1=a+2 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 1-0} \frac{(x-1)(x+a+1)}{|x-1|}=\lim_{x\to 1-0} -(x+a+1)=-a-2 \)なので
a+2=-a-2=cとなりa=-2,c=0
これをa+b+1=0に代入するとb=1

POINTf(x)が閉区間a≦x≦bで連続でf(a)とf(b)が異符号ならばf(x)=0となるx（a<x<b）が存在する。

答え(1)　\( f(x)=a^x-x^2 \)とおくとこれは連続関数。f(x)=0の解を調べればよい。
\( f(-1)=\frac{1}{a}-1<0 \)
\( f(0)=1>0 \)
\( f(1)=a-1 >0 \)
\( f(2)=a^2-4 <0 \)
なので中間値の定理より-1<x<0の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ。
また1<x<2の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ。
よって-1<x<2の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ。
(2)　\( f(4)=a^4-16<0 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=\infty>0 \)
よってx>4の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ。

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