上野竜生です。問165の答えを発表します。
問165
(1)\( 0.30102<\log_{10}{2}<0.30103 ~,~ 0.47712<\log_{10}{3}<0.47713 \)を用いて\(\log_{10}{2024} \)の値を小数第4位を四捨五入して小数第3位まで求めよ。
(2)（１）の不等式に加えてさらに\(0.4342<\log_{10}{e} <0.4343 \)を用いて，\( \log_{10}{\sqrt{2024}} \)の値を小数第5位を四捨五入して小数第4位まで求めよ。ただし，eは自然対数の底である。
文系の人は(2)を省略して構いません。
「文系のため(2)を省略」と答案に書いていただければ(1)のみ正解でこの問題を正解とします。
答え
(1) 3.306
(2) 1.6531
(1)\( \sqrt{2000 \cdot 2048} < 2024<2025 \)
を用いる。
これに常用対数をとると
\(\displaystyle \frac{1}{2}\log_{10}{(2 \cdot 10^3 \cdot 2^{11})} < \log_{10}{2024} < \log_{10}{45^2} \)
整理すると
\(\displaystyle 1.5+6\log_{10}{2} < \log_{10}{2024} < 2(2\log_{10}{3} + 1-\log_{10}{2}) \)
与えられた不等式より
\( 1.5+6\cdot 0.30102<\log_{10}{2024} < 2+4\cdot 0.47713 - 2 \cdot 0.30102 \)
計算すると
\( 3.30612 < \log_{10}{2024} < 3.30648 \)
よって小数第4位を四捨五入すると3.306
\( y=\log_{10}{x} \)のグラフが上に凸だから
x=2024でのy座標は，「x=2000の値とx=2048の値の中点」より大きい
ということを翻訳しただけです。
(2)
少なくとも(1)から\( 1.65306<\log_{10}{\sqrt{2024}}<1.65324 \)
よって\(\log_{10}{\sqrt{2024}} \)と1.65315との大小を比較すればよい。
つまり\( \log_{10}{2024} < 2\cdot 1.65315=3.3063 \)・・・(♪)が示せれば答えは1.6531となる。
(♪)を示す。
上側の評価について\( y=\log_{10}{x} \)上の点\( (2025,\log_{10}{2025}) \)からひいた接線ℓとの大小を考える。\( y=\log_{10}{x} \)は上に凸だからx座標が2024である接線上の点のy座標のほうが\( \log_{10}{2024} \)より大きい。これを計算して式で表現する。
\(\displaystyle (\log_{10}{x})’= \frac{1}{x \log{10}}= \frac{\log_{10}{e}}{x} \)より
接線ℓの方程式は
\(\displaystyle y-\log_{10}{2025} = \frac{\log_{10}{e}}{2025}(x-2025) \)
つまりℓ上でx座標が2024である点のy座標は
\(\displaystyle \log_{10}{2025} - \frac{\log_{10}{e}}{2025} \)
これが\( \log_{10}{2024} \)より大きいから
\(\displaystyle \log_{10}{2024} < \log_{10}{2025}- \frac{\log_{10}{e}}{2025} \\ < \displaystyle 3.30648 - \frac{0.4342}{2025} \\ < \displaystyle 3.30648 - \frac{0.4050}{2025} \\ = 3.30648-0.0002 \\ = 3.30628 < 3.3063 \)
となるから(♪)が成立し，答えは1.6531
正解者：1名（中西ゆか さま）
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