今週の問題　問166　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問166の答えを発表します。

問166

四面体ABCDにおいて
「Aから平面BCDにおろした垂線」「Bから平面ACDにおろした垂線」「Cから平面ABDにおろした垂線」「Dから平面ABCにおろした垂線」
が1点で交わるとき，四面体ABCDを垂心四面体と呼ぶ。
(1)四面体ABCDが垂心四面体ならば\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)と\(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\)は垂直であることを示せ。
(2)AB=4,BC=5,CA=6,AD=7の四面体ABCDが垂心四面体であるとき，辺BDとCDの長さをそれぞれ求めよ。

答え

(1)4つの垂線が1点で交わるのでその交点をHとする。
Aから平面BCDに下した垂線がHを通っているから
\(\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} =0 \)・・・①
Bから平面ACDに下した垂線がHを通っているから
\(\overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} =0 \)・・・②
②ー①より
\((\overrightarrow{\mathrm{BH}} -\overrightarrow{\mathrm{AH}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} =0 \)
つまり
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} =0 \)
となるから\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)と\(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\)は垂直

(2)同様にすると
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} = 0\)・・・③
\(\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}} = 0\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 0\)

③より
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{AD}} - \overrightarrow{\mathrm{AC}}) =0 \)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} \)

\( |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2 - 2\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} = |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2 - 2\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} \)

\( |\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 +|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2 = |\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 +|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2 \)

\( |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2 \)

同様にすると対辺の2乗の和はすべて等しくなり

\( |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2 =|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 \)

\( 25+49=|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|^2+36 =|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|^2+16 \)

よって\( BD=\sqrt{38} , CD=\sqrt{58} \)

POINT垂心四面体の性質
①AB⊥CD , AC⊥BD , AD⊥BC
実は逆も成り立つ。①⇒4つの垂線は1点で交わる。
証明はちょっと難しく，「交わる1点」のベクトルを見つけてしまって4
直線ともそこを通ることを示す。（ノーヒントではほぼ不可能。）
ちなみに，「交わる1点」とは，外接球の中心をOとして
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}\)
で表される点。
②\( AB^2 + CD^2 = AC^2+BD^2 = AD^2 + BC^2 \)
実は難しくないベクトル計算で②⇒①も成り立つ。よって②⇒4つの垂線は1点で交わる
③対辺の中点を結ぶ3本の線分の長さが等しい
（ベクトルで割と簡単に証明できる。これも逆が成り立ち，①や②と同値）

正解者：1名（中西ゆかさま）

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