今週の問題　問164　答え

上野竜生です。問164の答えを発表します。

問164

答え

ア　\(\displaystyle \frac{\pi}{4} \)
イ　1
ウ　2
エ　\(\displaystyle \frac{1}{6} \)

ア
（い）＋（う）ー（あ）ー（い）＜（う）＜（い）＋（う）

図より
（1/4の円から1/nの長方形をひいたもの＜求めるもの＜1/4の円）

よって
\(\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{n} < I_n < \frac{\pi}{4} \)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{4}-\frac{1}{n} = \frac{\pi}{4} \)
ハサミウチの原理より
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n=\frac{\pi}{4} \)

イ
\(\displaystyle \alpha-I_n=\frac{\pi}{4}-I_n \)は図の（い）である。

\(\displaystyle \sqrt{1-(\frac{1}{n})^2} \cdot \frac{1}{n} < \frac{\pi}{4}-I_n < 1 \cdot \frac{1}{n} \)

\(\displaystyle \sqrt{1-(\frac{1}{n})^2} < n(\alpha- I_n) < 1 \)
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt{1-(\frac{1}{n})^2} = 1 \)
ハサミウチの原理より
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(\alpha-I_n)=1 \)

ウ・エ
\(\displaystyle n^k (\beta- n(\alpha-I_n)) \\ = \displaystyle n^k \left\{ 1-n\left( \frac{\pi}{4} - \int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt{1-x^2} dx \right) \right\} \\ = \displaystyle n^k \left( 1- n \int_0^{\frac{1}{n}} \sqrt{1-x^2} dx \right) \\ = \displaystyle n^k \int_0^{\frac{1}{n}} n-n\sqrt{1-x^2} dx \\ = \displaystyle n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} 1-\sqrt{1-x^2} dx \\ =\displaystyle n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{x^2}{1+\sqrt{1-x^2}} dx \)

ここで\( \displaystyle 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \)のとき
\(\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}} \leq \frac{1}{1+\sqrt{1-(\frac{1}{n})^2}} \)

よって
\(\displaystyle n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{1}{2}x^2 dx <n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{x^2}{1+\sqrt{1-x^2}} dx < n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{1}{1+\sqrt{1-(\frac{1}{n})^2}}x^2 dx \)

両端を計算すると
\(\displaystyle \frac{1}{6}n^{k-2} < n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{x^2}{1+\sqrt{1-x^2}} dx < \frac{1}{3\left(1+\sqrt{1-(\frac{1}{n})^2}\right)} n^{k-2} \)
よってk=2のときに収束する
このとき左辺\(\displaystyle \to \frac{1}{6} (n \to \infty) \)
右辺\(\displaystyle \to \frac{1}{6} (n \to \infty) \)
なのでハサミウチの原理より極限は\(\displaystyle \frac{1}{6} \)

正解者：1名（中西ゆか さま）