今週の問題　問158　答え

上野竜生です。問158の答えを発表します。

問158

答え

(1)
m≦90のとき
0.3011m=0.3m+0.0011m≦0.3m+0.099なので
0.3m＜0.3011m＜0.3m+0.1が成り立つ。

mを10で割った余りで分類する。
m=10kのとき[0.3m]=3k
m=10k+1のとき[0.3m]=[3k+0.3]=3k
m=10k+2のとき[0.3m]=[3k+0.6]=3k
m=10k+3のとき[0.3m]=[3k+0.9]=3k
m=10k+4のとき[0.3m]=[3k+1.2]=3k+1
m=10k+5のとき[0.3m]=[3k+1.5]=3k+1
m=10k+6のとき[0.3m]=[3k+1.8]=3k+1
m=10k+7のとき[0.3m]=[3k+2.1]=3k+2
m=10k+8のとき[0.3m]=[3k+2.4]=3k+2
m=10k+9のとき[0.3m]=[3k+2.7]=3k+2

たとえばm=10k+1のとき
0.3m＜0.3011m＜0.3m+0.1より
3k+0.3＜0.3011m＜3k+0.4なので
[0.3011m]=3k
それ以外もすべて同様なので
m≦90のときは
0.3mと0.3011mで整数部分は変わらない。

m=91,92のときも同様（m≦180のとき0.3m＜0.3011m＜0.3m+0.2が成り立つから整数部分は変わらない。証明が面倒ならばm=91,92を実際に代入しても良い。）
m=93のとき
[0.3m]=[27.9]=27
[0.3011m]=[28.0023]=28なので[0.3m]≠[0.3011m]
よってm=93

(2)\( 2^{90}= (2^4)^{22} \cdot 2^2 = 4\cdot 16^{22} \)
一の位が6の整数は何乗しても一の位が6で固定なので十の位の変化に着目できる。
10k+6を16倍すると
\( 16(10k+6)=160k+96=100k+(6k+9)\cdot 10 +6\)
十の位は1→5→9→3→7を繰り返す
よって\( 16^{22} \)の下2桁は56。
2の90乗はその4倍なので下2桁は24。

(3)
m≦92までは\( [\log_{10}{2^m} ]=[0.3m] \)
が成り立つので\( 2^1 \)から\( 2^{92} \)までの桁数の和を求める。
\( 2^1 \)から\( 2^{10} \)までは
2,4,8,1,6,3,2,6,4,1,2,8,2,5,6,5,1,2,1,0,2,4
で22項
\( 2^{11} \)から\( 2^{20}\)までは22+3×10=52項（∵(1)の考察よりm≦92までは2¹⁰倍すると3桁ずつ増える）
\( 2^{21} \)から\( 2^{30}\)までは22+6×10=82項
・・・
\( 2^{81} \)から\( 2^{90}\)までは22+24×10=262項
よって\( 2^1 \)から\( 2^{90} \)までの項数は
22+52+82+・・・+262=1278項

m=91,92,94,95,96,97,98,99,100のときも\( [\log_{10}{2^m} ]=[0.3m] \)が成り立つ。
（m≦180のとき0.3m＜0.3011m＜0.3m+0.2が成り立つから整数部分は変わらない。証明が面倒ならばm=91,92を実際に代入しても良い。）

よって第1509項めは2⁹⁸の一の位または十の位である。

2⁹⁸の下2桁を計算する。
2⁸×24((2)の答）=6144
なので下2桁は44。つまり十の位であっても一の位であっても求める答えは4となる。

答．　4

※コンピュータで計算すると2の93乗は28桁の整数でした。結果としては一の位の「4」が求めるものです。