今週の問題　問157　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問157の答えを発表します。

問157

A(3,-1,4),B(1,5,9) , C(1,2,3), D(4,5,6)とする。
直線CD上に点Pをとるとき，AP+BPの最小値を求めよ。

答え

$問157前半$

Aから直線CDに下した垂線の足をQとする。
QはCD上の点だからQ(t+1,t+2,t+3)とかける。
$ \overrightarrow{AQ}=(t-2 , t+3 ,t-1) , \overrightarrow{CD}=(3,3,3) $
$\overrightarrow{AQ}\cdot \overrightarrow{CD}=0 $より
3(t-2)+3(t+3)+3(t-1)=0
つまりt=0であり，Q(1,2,3)
よってQはCと一致する。
同様にするとBから直線CDに下した垂線の足はDと一致する。
（∠ACD=∠BDC=90°）

$問157後半$

$ AC=\sqrt{14} , CD=3\sqrt{3} , BD=3\sqrt{2} $なので
求める長さは
$ \sqrt{ (\sqrt{14}+3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 } \\ = \sqrt{ 14+18+6\sqrt{28} + 27 } \\ = \sqrt{59+12\sqrt{7}} $

図が少し変ですが「点B」を「点B'」に読み替えてください。
4点A,B,C,Dは同一円周上にあるとは限らないため同一平面の図にかくのは変なのですが，直線CDを中心に点Bを回転させA,B',C,Dが同一平面にくる位置をB'とします。（Aと反対側にとっておきます）
このとき直線CD上のどこに点PをとってもBP=B'Pが成り立つためAP+B'Pの最小を考えればよいことになります。
あとは折れ線の長さの和の最小値問題になります。
最小となるのはA,P,Bが同一直線上にあるときで，そのときの長さは図の緑の長さ＝「赤＋青」と「グレー」でできる直角三角形の斜辺）で求められます。

正解者：3名（※匿名希望と判断しました　，たまきまたさま，中西ゆかさま）

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