今週の問題　問156　答え

上野竜生です。問156の答えを発表します。

問156

答え

区分求積法より
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{2n} f(\frac{k}{2n}) \sin{\frac{k\pi}{2n}} \\ = \displaystyle \int_0^2 f(\frac{x}{2}) \sin{\frac{\pi x}{2}} dx\)
これをIとする。
x=2sと置換すると
\(\displaystyle I=\int_0^1 2 f(s)\sin{\pi s}ds \)・・・①
一方でs=1-tと置換すると
\(\displaystyle I=\int_1^0 2 f(1-t)\sin{(\pi - \pi t)} \cdot (-1)dt \\ =\displaystyle \int_0^1 2 f(1-t) \sin{\pi t }dt \)
・・・②

①＋②より
\(\displaystyle 2I= \int_0^1 2\{ f(t)+f(1-t) \}\sin{\pi t} dt \)
ここでf(t)+f(1-t)=1だから
\(\displaystyle I=\int_0^1 \sin{\pi t} dt \\ = \displaystyle \left[ -\frac{1}{\pi} \cos{\pi t } \right]_0^1 \\ = \displaystyle \frac{2}{\pi} \)

正解者：1名（中西ゆか さま）