今週の問題　問159　答え

上野竜生です。問159の答えを発表します。

問159

答え

方針
①n≦22のとき，_nC_kは23の倍数ではない。(よって不適)
②n≧23かつ4≦k≦n-4のとき_nC_kは2024よりも大きい(よって不適)
③k=1,2,3,n-3,n-2,n-1,nのときを個別に調べる

①「n≦22のとき，_nC_kは23の倍数でないことを示す」

もし_nC_kが23の倍数と仮定すると
\(\displaystyle {}_n C_k = \frac{n!}{(n-k)!k!}=23N \)
とおける。(Nは自然数)
n!=23N(n-k)!k!
とかけるが右辺は23の倍数であるのに対し，n≦22なので左辺は23の倍数ではない。
よって矛盾。
n≦22のとき_nC_kは23の倍数ではない。
2024は23の倍数だからn≦22のとき_nC_k=2024にはならない。

②　n≧23かつ4≦k≦n-4のとき_nC_kは2024よりも大きい

_nC_kはkが一定のときnが大きくなるほど大きくなる

[証明]
\(\displaystyle \frac{{}_{n+1}C_k}{ {}_nC_k}= \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} \cdot \frac{k!(n-k)!}{n!}= \frac{n+1}{n+1-k} \geq 1 \)
よって\( {}_{n+1}C_k \geq {}_nC_k \)
特にk≠0では等号は不成立。

_nC_kはnが一定のとき，kが\(\frac{n}{2} \)に近づくほど大きくなる
＜今回の問題ではn≧23かつ4≦k≦n-4のとき_nC_k≧_nC₄を示せば十分なので偶奇で場合分けなど細かい部分は略。＞

\(\displaystyle \frac{{}_nC_{k+1}}{{}_nC_k} = \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \cdot \frac{k!(n-k)!}{n!}=\frac{n-k}{k+1} \)
n-k>k+1，つまり\(k<\frac{n-1}{2} \)のときこれは1より大きく，n-k<k+1，つまり\(k>\frac{n-1}{2} \)のとき1より小さい
つまりn≧23のとき
_nC₄＜_nC₅＜・・・＞_nC_k-5＞_nC_k-4=_nC₄
が成り立つ

以上よりn≧23かつ4≦k≦n-4のときは
_nC_k≧_nC₄≧₂₃C₄=8855＞2024
となるのでこの範囲で_nC_k=2024となる(n,k)は存在しない。

①②よりn≧23かつk=0,1,2,3,n-3,n-2,n-1,nの場合のみを調べればよい。

③k=0,nのとき_nC_k=1なので不適。
k=1,n-1のとき_nC_k=nなのでn=2024で成立。
k=2,n-2のとき\(\displaystyle {}_n C_k=\frac{n(n-1)}{2} \)
なのでn(n-1)=4048を解けばよいがこれを満たす自然数nは存在しない。

（この部分の説明はn(n-1)はn≧1で単調増加なので64×63＜4048＜65×64を示すか，
nについての2次方程式\( n^2-n-4048=0 \)を解の公式で解くか，
nを3で割った余りに着目するかいずれでもよい）

k=3,n-3のとき\({}_{23}C_3=1771, {}_{24}C_3=2024 \)なのでn=24で成立。
（②の証明より　₂₃C₃＜₂₄C₃＜₂₅C₃＜₂₆C₃＜・・・なのでn=24で成立すればn≧25では不成立もわかる）

答え　(n,k)=(24,3),(24,21),(2024,1),(2024,2023)

正解者：3名（中西ゆか さま，ひな さま，古春 さま）