上野竜生です。問153の答えを発表します。
問153
\(f(x)=x^3+2x^2-3x-3 \)とし，f(x)=0の異なる3つの実数解を\( \alpha, \beta , \gamma \)とする。（f(x)=0が異なる3つの実数解をもつことは証明不要）
\(\displaystyle g(\alpha)=\frac{1}{\beta+\gamma} , g(\beta)=\frac{1}{\gamma + \alpha} , g(\gamma)=\frac{1}{\alpha+\beta} \)
を満たす2次関数g(x)を求めよ。
答え
解と係数の関係より
α+β+γ=-2なので条件は
\(\displaystyle g(\alpha)=\frac{1}{-\alpha-2} , g(\beta)=\frac{1}{-\beta-2} , g(\gamma)=\frac{1}{-\gamma-2} \)
（f(-2)≠0なのでα,β,γの中に-2と等しいものはない）
さらに整理すると
\( (\alpha+2)g(\alpha)=-1 , (\beta+2)g(\beta)=-1 , (\gamma+2)g(\gamma)=-1 \)
となる。
f(x)を(x+2)で割り算することにより
\( f(x)=(x+2)(x^2-3)+3 \)となる。f(α)=0より
\( (\alpha+2)(\alpha^2 - 3)=-3 \)
つまり
\(\displaystyle (\alpha +2)(\frac{1}{3} \alpha^2 -1)=-1 \)
まったく同様の式がβ,γでも成り立つので
\( g(x)=\frac{1}{3}x^2 - 1 \)・・・(*)とすれば成立する。
2次関数は異なる3点の座標が与えられれば一意に定まるので(*)のみが求めるg(x)である。
正解者：1名（中西ゆか さま）
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