今週の問題　問152　答え

上野竜生です。問152の答えを発表します。

問152

答え

【結論】　次の2条件を満たせばよい
a≠b≠c≠a（a,b,cはすべて異なる整数である）
ab+bc+ca=0
具体的にはa=3,b=6,c=-2などが正解。

【導出】　題意を行列式で表すと
\(\displaystyle \det{} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix} \neq 0 \)・・・①
だが
\(\displaystyle \det{} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{pmatrix} = 0 \)・・・②
であるということ。

①を計算するために基本変形をする
\(\displaystyle \det{} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{pmatrix}\\=(b-a)(c-a)\det{} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 1 \\ a^2 & b+a & c+a \end{pmatrix}\)
∵b-a≠0,c-a≠0でないとき，つまりb-a=0またはc-a=0のときは行列式が0になるので両辺は等しい
余因子展開すると①は
\(\displaystyle (b-a)(c-a) \det{} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ b+a & c+a \end{pmatrix} \\ = (b-a)(c-a)(c+a-b-a)=(a-b)(b-c)(c-a) \)
つまり①の条件は
a≠bかつb≠cかつc≠aである。

次に②を計算する。同様にして
\(\displaystyle \det{} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a^2 & (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \\ a^3 & (b-a)(a^2+ab+b^2) & (c-a)(a^2+ac+c^2) \end{pmatrix}\\=(b-a)(c-a)\det{} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a^2 & a+b & a+c \\ a^3 & a^2+ab+b^2 & a^2+ac+c^2 \end{pmatrix}\)
余因子展開すると②は
\(\displaystyle (b-a)(c-a) \det{} \begin{pmatrix} a+b & a+c \\ a^2+ab+b^2 & a^2+ac+c^2 \end{pmatrix} \\ = (b-a)(c-a)\{ (a+b)(a^2+ac+c^2)-(a+c)(a^2+ab+b^2) \}\\ = (b-a)(c-a)( a^3+a^2 c + ac^2 +a^2 b +abc +bc^2 - a^3 -a^2 b - ab^2 - a^2 c -abc - b^2 c ) \\ = (b-a)(c-a)( ac^2 +bc^2 - ab^2 - b^2 c ) \\ = (b-a)(c-a)\{ a(c^2-b^2)+bc(c-b) \} \\ = (b-a)(c-a)(c-b)(ac+ab+bc) \\ = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) \)
つまり②の条件は
a=bまたはb=cまたはc=aまたはab+bc+ca=0
である。

①と②をあわせると
a≠bかつb≠cかつc≠aかつab+bc+ca=0
たとえばa=3,b=6,c=-2など無数に存在する。

正解者：1名（中西ゆか さま）