上野竜生です。問151の答えを発表します。
問151
次のア～カに入る適切な数値を答えよ。
\( f(x)=x\arccos{(1-x^2)} \)とする。
(1)
\(\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \)ア
\(\displaystyle \lim_{x \to -0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \)イ
(2)
\(\displaystyle \lim_{x \to +0} f’(x)=\)ウ
\(\displaystyle \lim_{x \to -0} f’(x)=\)エ
(3)
\(\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{f’(x)-f’(0)}{x-0}= \)オ
\(\displaystyle \lim_{x \to -0} \frac{f’(x)-f’(0)}{x-0}= \)カ
答え ア～エ：0 オ：2√2 カ：-2√2
(1)ア・イともに同様に解けるのでx→0とまとめて答える
f(0)=0×0=0なので
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\ = \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x\arccos{(1-x^2)}}{x}=\arccos{1}=0 \)
(2)
一般に\(\displaystyle (\arccos{x})’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)なので
x≠0のとき
\(\displaystyle f’(x)=\arccos{(1-x^2)}+x \left( -\frac{-2x}{\sqrt{1-(1-x^2)^2}} \right) \\ = \displaystyle \arccos{(1-x^2)} + \frac{2x^2}{\sqrt{2x^2- x^4}} \\ = \displaystyle \arccos{(1-x^2)} + \frac{2|x|}{\sqrt{2-x^2}} \)
よって不定形ではないのでそのままx=0を代入するとウ・エともに0であることがわかる
(3)
(1)の結果よりf’(0)=0であることに注意すると
\(\displaystyle \lim_{x\to +0} \frac{\arccos{(1-x^2)} + \frac{2|x|}{\sqrt{2-x^2}}}{x} \\ = \displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{\arccos{(1-x^2)}}{x} + \frac{2}{\sqrt{2-x^2}} \)
ここで第1項・第2項ともに\( \sqrt{2}\)に収束するのでオ＝\(2\sqrt{2} \)
※第2項は不定形ではないので明らか。第1項はあとで示す。
\(\displaystyle \lim_{x\to -0} \frac{\arccos{(1-x^2)} + \frac{2|x|}{\sqrt{2-x^2}}}{x} \\ = \displaystyle \lim_{x \to -0} \frac{\arccos{(1-x^2)}}{x} - \frac{2}{\sqrt{2-x^2}} \)
ここで第1項・第2項ともに\( -\sqrt{2}\)に収束するのでカ＝\(-2\sqrt{2} \)
第1項は0分の0の不定形なのでロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to +0} \frac{\arccos{(1-x^2)}}{x}=\lim_{x\to +0} \frac{\frac{2x}{\sqrt{1-(1-x^2)^2}}}{1}\\ = \displaystyle \lim_{x\to +0} \frac{2x}{|x|\sqrt{2-x^2}} = \sqrt{2} \)
x→-0のときも同様で最後の絶対値をはずす時の符号が変わるだけである。
正解者：1名（中西ゆか さま）
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