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上野竜生です。問142の答えを発表します。

問142

[信州大学]
正の実数θは\(\displaystyle \cos{\pi \theta } =\frac{1}{\sqrt{3}} \)を満たすとする。数列\( \{ a_n \} , \{ b_n \} \)をそれぞれ
\( a_n=\cos{n\pi \theta} , b_n=\sqrt{3^n} a_n ~ (n=1,2,\cdots ) \)
で定める。
(1)\( a_{n+2}+a_n \)を\( a_{n+1} \)を用いて表せ。
(2)\( b_1,b_2 \)を求めよ。
(3)\(b_n \)は3で割り切れない整数であることを示せ。
(4)\( \theta \)は無理数であることを示せ。ただし,\( \sqrt{3} \)が無理数であることは用いてよい。

 

答え

(1)
\( a_{n+2}+a_n = \cos{(n+2)\pi \theta} + \cos{n\pi \theta} \\ = \cos{ \{ (n+1)\pi \theta + \pi \theta \} } + \cos{ \{ (n+1)\pi \theta - \pi \theta \} } \\ =\cos{(n+1)\pi \theta} \cos{\pi \theta} - \sin{ (n+1)\pi \theta} \sin{\pi \theta} + \cos{ (n+1)\pi \theta \cos{\pi \theta} } + \sin{(n+1)\pi \theta}\sin{\pi \theta} \\ = 2\cos{(n+1)\pi \theta} \cos{\pi \theta} \\ \displaystyle = 2 a_{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} a_{n+1} \)

(2)
\( b_1=\sqrt{3} \cos{\pi \theta} = 1 \)
\( b_2= 3\cos{2\pi \theta} \\ = 3(2\cos^2{\pi \theta}-1) =-1 \)

(3) (1)より
\(\displaystyle a_{n+2}=\frac{2}{\sqrt{3}} a_{n+1}-a_n \)
の両辺に\( \sqrt{3^{n+2} } \)をかけると
\(\displaystyle \sqrt{3^{n+2}} a_{n+2} = 2\sqrt{3^{n+1}} a_{n+1} - 3\sqrt{3^n} a_n \)
つまり
\( b_{n+2}=2b_{n+1}-3b_n \)
\( b_n \)が3で割り切れない整数であることを数学的帰納法で示す。
n=1,2のときは(2)より成立。
n=k,k+1で成立すると仮定するとn=k+2のとき
\( b_{k+2}=2b_{k+1}-3b_k \)
だから\( b_{k+2} \)は整数。
さらに\( 3b_k \)は3の倍数だから\( 2b_{k+1} \)が3の倍数でなければ\( b_{k+2} \)は3の倍数でない。
帰納法の仮定より\( b_{k+1} \)は3の倍数でない整数だから3で割った余りは1または2となるが,どちらの場合も\( 2b_{k+1} \)は3で割った余りが0にはならない。よって\( b_{k+2} \)は3の倍数でない。
以上よりすべての自然数nに対して\( b_n \)は3では割り切れない整数である。

(4)\( \theta \)が有理数であると仮定する。つまり\( \displaystyle \theta=\frac{s}{t} \)(sは整数,tは自然数)とかけるとする。
すると\(a_{2t}=\cos{2t \cdot \frac{s}{t} \cdot \pi}=\cos{2s\pi}=1 \)となる。
つまり,\( b_{2t}=\sqrt{3^{2t}}=3^t \)となるからtが自然数であることとあわせると\( b_{2t} \)は3の倍数である。
しかし,(3)より\( b_{2t} \)は3で割り切れない整数となる。これは矛盾。
よって背理法により\(\theta \)は無理数である。

 

 

 

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