上野竜生です。問138の答えを発表します。
問138
(1)a,bが自然数のとき\( a^2+3b^2 \)が17の倍数ならばa,bはともに17の倍数であることを示せ。
(2)三角形ABCにおいて次の条件をすべて満たすものは存在するか？存在するならAB,ACの長さの組をすべて求め，存在しないならそのことを証明せよ。
・AB,ACの長さはどちらも自然数
・∠BAC=60°
・\( BC=\sqrt{2023} \)
答え
(1)
a=17s+t(s,tは整数)とおく。
\( a^2 = (17s+t)^2=17(17s^2+2st)+t^2 \)より
\( a^2 , t^2 \)を17で割った余りは等しい。
さらにa=17s-tとおいても同様に
\( a^2,t^2 \)を17で割った余りは等しい。
すべての自然数はt=0,1,2,3,4,5,6,7,8のいずれかを用いて
a=17s+tまたはa=17s-tとおけるので
t=0,1,2,3,4,5,6,7,8について調べればよい。
t=0,1,2,3,4,5,6,7,8について\( t^2 \)を17で割った余りを考えると
0,1,4,9,16,8,2,15,13
となるので\( a^2 \)を17で割った余りとして考えられるものは
0,1,2,4,8,9,13,15,16である。
同様にして\( 3b^2 \)を17で割った余りとして考えられるものは
0,3,6,12,7,10,5,11,14である。
この中で\( a^2+3b^2 \)を17で割って余りが0になる組は
\( a^2,3b^2 \)がともに17の倍数の時だけで，これはa,bがともに17の倍数のときであるから題意は成立。
(2)AB=n ,AC=mとおくと余弦定理より
\( n^2 + m^2 -nm=2023 \)
が成り立つ。これを満たす自然数n,mが存在するかを考えればよい。
両辺4倍すると
\( 4n^2 -4nm + 4m^2 \\ = (2n-m)^2 + 3m^2 =8092 \)
が成り立つ。8092は17の倍数なので(1)より2n-m,mはともに17の倍数となる。
2n-m=17A , m=17B(Aは整数。Bは自然数)とおける。
\( (17A)^2 + 3(17B)^2=8092 \)となるので
\( A^2+3B^2=28 \)
\( A^2=28-3B^2 \geq 0 \)なのでB=1,2,3のいずれかである。
B=1のとき，A=±5
B=2のとき，A=±4
B=3のとき，A=±1
となるから(2n-m , m)の組は
(85,17),(-85,17),(68,34),(-68,34), (17,51),(-17,51)
となる。よってnも自然数であることに注意すると(AB,AC)=(n,m)の組は
(AB,AC)=(51,17),(51,34),(34,51),(17,51)
として4組存在する。
正解者：1名（🐟 さま）
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