今週の問題　問137　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問137の答えを発表します。

問137

A(2,0),B(2,1),C(0,1)とし，三角形ABCの内部または周上をDとする。
領域Dにある点(x,y)の中で
$ f(x,y)=(x+2y)e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)} $が最大となる点の座標と最小となる点の座標を求めよ。

答え

x+2y=tのとき$ x^2+y^2 $の最大・最小を求める。
tの取りうる範囲は2≦t≦4であることに注意
$ x=t-2y $なので
$ x^2+y^2= (t-2y)^2+y^2 \\ = 5y^2 -4ty + t^2 \\ = \displaystyle 5 \left( y-\frac{2}{5}t \right)^2 + \frac{1}{5}t^2 $
よって軸は$\displaystyle y=\frac{2}{5}t $
$\displaystyle y=\frac{2}{5}t $がDに含まれるときはこのときが最小であり，含まれないときはこの値に最も近い時が最小。最大は最も遠い時である。
$\displaystyle y=\frac{2}{5}t $のとき$\displaystyle x=\frac{1}{5}t $なのでこれがDに含まれる範囲は$\displaystyle 2\leq t \leq \frac{5}{2} $

$問137答え$

本当は$ \displaystyle (x,y)=\left( \frac{t}{5} , \frac{2}{5}t \right) $のとき，つまりy=2xのときが最小なんだけど定義域に入ってないところでは仕方なく一番近いところをとってるイメージです。
結果としては図の赤い太線のところが最小。太い青線が最大になります。
このあと，f(x,y)の議論をするときは指数部分$ (x^2+y^2) $の係数が-2なので最大・最小のときが入れ替わることに注意してください。

図より，まとめると
$\displaystyle 2\leq t \leq \frac{5}{2} $のとき，$x^2+y^2 $の最小値は$\displaystyle (x,y)=\left( \frac{t}{5} , \frac{2}{5}t \right) $のとき$\displaystyle \frac{1}{5}t^2 $。
$\displaystyle \frac{5}{2} \leq t \leq 4 $のとき，$x^2+y^2 $の最小値は$(x,y)=(t-2,1) $のとき$ t^2-4t+5 $
$2\leq t \leq 4 $のとき，$x^2+y^2 $の最大値は$\displaystyle (x,y)=\left(2, \frac{1}{2}t-1 \right) $のとき$\displaystyle \frac{1}{4}t^2 -t+5$

f(x,y)の最小値を求める。x+2y=tとおくと
$\displaystyle f(x,y)=(x+2y)e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)} \geq te^{-\frac{1}{2}(\frac{1}{4}t^2 - t+5 )}$
となるのでこれの右辺をg(t)とおき，g(t)の最小値を求める。
$\displaystyle g’(t)= (1 -\frac{1}{2}t(\frac{1}{2}t-1))e^{-2(\frac{1}{4}t^2 -t +5)}=-\frac{1}{4}(t^2-2t-4) e^{-\frac{1}{2}(\frac{1}{4}t^2 - t +5)} $
となるので2≦t≦4の範囲でg’(t)=0をとくと$ t=1+\sqrt{5} $となり，この前後でg’(t)の符号は正から負に変わるので極大。
g(t)の最小値は，g(2)またはg(4)のうちの小さいほうである。
$\displaystyle g(2)=2e^{-2} , g(4)=4e^{-\frac{5}{2}} $
どちらも正なので2乗して比較すると
$\displaystyle g(2)^2 - g(4)^2 = 4e^{-4} - 16e^{-5} = \frac{4(e-4)}{e^5}<0 $
なのでg(2)のほうが小さい。
よって2≦t≦4のとき最小になるのはt=2のとき。
まとめると
$\displaystyle f(x,y) \geq te^{-\frac{1}{2}(\frac{1}{4}t^2 - t +5 } \geq g(2)=2e^{-2} $
等号成立は$\displaystyle (x,y)=\left(2, \frac{1}{2}t-1 \right) $ )かつt=2，つまり(x,y)=(2,0)のときだからf(x,y)の最小値は(x,y)=(2,0)のとき。

f(x,y)の最大値を求める。x+2y=tとおくと$\displaystyle 2 \leq t \leq \frac{5}{2} $のとき
$\displaystyle f(x,y) \leq te^{-\frac{1}{10}t^2} $
なのでこれの右辺をh(t)とおき，最大値を求める。
$\displaystyle h’(t)=(1-\frac{1}{5}t^2 ) e^{-\frac{1}{10}t^2}$
$\displaystyle 2\leq t \leq 4 $の範囲でh’(t)=0をとくと$\displaystyle t=\sqrt{5} $
この前後でh’(t)の符号は正から負に変わるので極大であり，最大である。
まとめると
$\displaystyle f(x,y) \leq te^{\frac{1}{10}t^2} \leq h(\sqrt{5})=\sqrt{5}e^{-\frac{1}{2}} $
等号成立は$\displaystyle (x,y)=\left( \frac{t}{5} , \frac{2}{5}t \right) $かつ$ t=\sqrt{5} $のとき，つまりf(x,y)の最大値は$ \displaystyle (x,y)=\left( \frac{\sqrt{5}}{5} , \frac{2\sqrt{5}}{5} \right) $のときである。（これは図のアの位置である。）

$ \displaystyle \frac{5}{2} \leq t \leq 4 $のときは調べなくてよい。
なぜならば，この範囲では$h(\sqrt{5})>h(t) $なので図のアよりイのほうが小さく，最初の議論よりイよりウのほうが小さくなるのでウが最大にはなれないからである。
以上よりf(x,y)が最大となる(x,y)は$ \displaystyle (x,y)=\left( \frac{\sqrt{5}}{5} , \frac{2\sqrt{5}}{5} \right) $のとき

正解者：1名（🐟 さま）

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