今週の問題　問137　答え

上野竜生です。問137の答えを発表します。

問137

答え

x+2y=tのとき\( x^2+y^2 \)の最大・最小を求める。
tの取りうる範囲は2≦t≦4であることに注意
\( x=t-2y \)なので
\( x^2+y^2= (t-2y)^2+y^2 \\ = 5y^2 -4ty + t^2 \\ = \displaystyle 5 \left( y-\frac{2}{5}t \right)^2 + \frac{1}{5}t^2 \)
よって軸は\(\displaystyle y=\frac{2}{5}t \)
\(\displaystyle y=\frac{2}{5}t \)がDに含まれるときはこのときが最小であり，含まれないときはこの値に最も近い時が最小。最大は最も遠い時である。
\(\displaystyle y=\frac{2}{5}t \)のとき\(\displaystyle x=\frac{1}{5}t \)なのでこれがDに含まれる範囲は\(\displaystyle 2\leq t \leq \frac{5}{2} \)

図より，まとめると
\(\displaystyle 2\leq t \leq \frac{5}{2} \)のとき，\(x^2+y^2 \)の最小値は\(\displaystyle (x,y)=\left( \frac{t}{5} , \frac{2}{5}t \right) \)のとき\(\displaystyle \frac{1}{5}t^2 \)。
\(\displaystyle \frac{5}{2} \leq t \leq 4 \)のとき，\(x^2+y^2 \)の最小値は\((x,y)=(t-2,1) \)のとき\( t^2-4t+5 \)
\(2\leq t \leq 4 \)のとき，\(x^2+y^2 \)の最大値は\(\displaystyle (x,y)=\left(2, \frac{1}{2}t-1 \right) \)のとき\(\displaystyle \frac{1}{4}t^2 -t+5\)

f(x,y)の最小値を求める。x+2y=tとおくと
\(\displaystyle f(x,y)=(x+2y)e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)} \geq te^{-\frac{1}{2}(\frac{1}{4}t^2 - t+5 )}\)
となるのでこれの右辺をg(t)とおき，g(t)の最小値を求める。
\(\displaystyle g’(t)= (1 -\frac{1}{2}t(\frac{1}{2}t-1))e^{-2(\frac{1}{4}t^2 -t +5)}=-\frac{1}{4}(t^2-2t-4) e^{-\frac{1}{2}(\frac{1}{4}t^2 - t +5)} \)
となるので2≦t≦4の範囲でg’(t)=0をとくと\( t=1+\sqrt{5} \)となり，この前後でg’(t)の符号は正から負に変わるので極大。
g(t)の最小値は，g(2)またはg(4)のうちの小さいほうである。
\(\displaystyle g(2)=2e^{-2} , g(4)=4e^{-\frac{5}{2}} \)
どちらも正なので2乗して比較すると
\(\displaystyle g(2)^2 - g(4)^2 = 4e^{-4} - 16e^{-5} = \frac{4(e-4)}{e^5}<0 \)
なのでg(2)のほうが小さい。
よって2≦t≦4のとき最小になるのはt=2のとき。
まとめると
\(\displaystyle f(x,y) \geq te^{-\frac{1}{2}(\frac{1}{4}t^2 - t +5 } \geq g(2)=2e^{-2} \)
等号成立は\(\displaystyle (x,y)=\left(2, \frac{1}{2}t-1 \right) \) )かつt=2，つまり(x,y)=(2,0)のときだからf(x,y)の最小値は(x,y)=(2,0)のとき。

f(x,y)の最大値を求める。x+2y=tとおくと\(\displaystyle 2 \leq t \leq \frac{5}{2} \)のとき
\(\displaystyle f(x,y) \leq te^{-\frac{1}{10}t^2} \)
なのでこれの右辺をh(t)とおき，最大値を求める。
\(\displaystyle h’(t)=(1-\frac{1}{5}t^2 ) e^{-\frac{1}{10}t^2}\)
\(\displaystyle 2\leq t \leq 4 \)の範囲でh’(t)=0をとくと\(\displaystyle t=\sqrt{5} \)
この前後でh’(t)の符号は正から負に変わるので極大であり，最大である。
まとめると
\(\displaystyle f(x,y) \leq te^{\frac{1}{10}t^2} \leq h(\sqrt{5})=\sqrt{5}e^{-\frac{1}{2}} \)
等号成立は\(\displaystyle (x,y)=\left( \frac{t}{5} , \frac{2}{5}t \right) \)かつ\( t=\sqrt{5} \)のとき，つまりf(x,y)の最大値は\( \displaystyle (x,y)=\left( \frac{\sqrt{5}}{5} , \frac{2\sqrt{5}}{5} \right) \)のときである。（これは図のアの位置である。）

\( \displaystyle \frac{5}{2} \leq t \leq 4 \)のときは調べなくてよい。
なぜならば，この範囲では\(h(\sqrt{5})>h(t) \)なので図のアよりイのほうが小さく，最初の議論よりイよりウのほうが小さくなるのでウが最大にはなれないからである。
以上よりf(x,y)が最大となる(x,y)は\( \displaystyle (x,y)=\left( \frac{\sqrt{5}}{5} , \frac{2\sqrt{5}}{5} \right) \)のとき

正解者：1名（🐟 さま）