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上野竜生です。問132の答えを発表します。

問132

[数学オリンピック]
\(\displaystyle \frac{10^n}{n^3+n^2+n+1} \)が整数となるような正の整数nをすべて求めよ。

 

答え

分母を因数分解すると\( (n^2+1)(n+1) \)であり,
\( n^2+1 = (n-1)(n+1)+2 \)なので
\( n^2+1 \)と\( n+1 \)の最大公約数は1または2である・・・①
また問題の条件を満たすには\( n+1,n^2+1\)はどちらも2,5以外の素因数をもたない・・・②ことが必要である。

nが偶数のとき
\( n+1,n^2+1 \)はどちらも奇数となるから2の素因数はもたない。
②より\( n+1,n^2+1\)はどちらも5以外の素因数をもたないがどちらも5の倍数なら①に矛盾するので少なくとも一方は1である。
どちらが1になってもnは正の整数にならないので不適。

nが奇数のとき
\( n+1,n^2+1 \)はどちらも偶数である。特に
\( n^2+1 \)は4で割って2余る。・・・③
(つまり2で1回割り切れるが2回は割り切れない)
\( n+1 \)が5の倍数だと仮定すると\( n^2+1 \)は5の倍数になれない(∵①)
よって②より\( n^2+1 \)は2のべき乗になるが③より4で割り切れないので\( n^2+1=2 \)である。
このときn=1となるがn=1は問題文の条件を満たさないので不適。
n+1は5の倍数でないから②より2しか素因数を持たない。以上より非負整数k,lを用いて
\( n+1=2^k , n^2+1=2 \cdot 5^l \)・・・④
とおくことができる。

④より
\( (2^k-1)^2+1=2\cdot 5^l \)
両辺を2で割って整理すると
\( 5^l = 2^{2k-1} - 2^{k}+1 \)
\( 5^l - 1= 2^k(2^{k-1}-1) \)・・・⑤

lが奇数のとき左辺は8で割って4余るから2で2回だけ割り切れる。つまりk=2
このとき④よりn=3となり,これは条件を満たす。

lが偶数のとき左辺は8の倍数となるのでk≧3である。l=2mとおくと
\( 5^{2m}-1=(5^m-1)(5^m+1)=2^k(2^{k-1}-1) \)・・・⑥
\( 5^m+1 \)は4で割って2余るので
\( 5^m-1 =2^{k-1} \alpha \)
(αは奇数)とおける。これを⑥に代入すると
\( 2^{k-1}\alpha (2^{k-1}\alpha +2) = 2^k(2^{k-1}-1) \)
両辺を\( 2^k \)で割ると
\(\alpha (2^{k-2} \alpha +1)=2^{k-1}-1 \)・・・⑦

\( \alpha \geq 3 \)だと仮定すると
\( \alpha (2^{k-2} \alpha +1) \geq 2^{k-1} + 1 > 2^{k-1}-1 \)
となるから⑦に矛盾。よってα=1。これを⑦に代入すると
\( 2^{k-2} +1=2^{k-1} -1 \)
\( 2^{k-1}-2^{k-2}=2^{k-2}=2 \)なのでk=3
これを④に代入するとn=7となりこれも問題の条件を満たす。

以上より求めるnはn=3,7

 

 

 

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