今週の問題　問129　答え

上野竜生です。問129の答えを発表します。

問129

答え

科目Xの合計点と科目Yの合計点は等しいので
3a+3b+4c=5a+5b
∴2c=a+b

つまりa,c,bは等差数列だからa=c-s , b=c+sとおける。
このとき科目Xと科目Yの平均点はどちらもcである。

XとYの分散をそれぞれ\(s_X^2 , s_Y^2 \)とおくと
（平均=cなのでa-平均=-s, b-平均=s , c-平均=0に注意）

\(\displaystyle s_X^2 =\frac{6}{10}s^2 , s_Y^2 =\frac{10}{10}s^2 \)

次にXとYの共分散\( s_{XY}\)は
\(\displaystyle s_{XY}= \frac{1}{10}\{ (-s)^2-s^2+s^2-s^2+(-s)^2+s^2 \} = \frac{2}{10}s^2 \)

よって相関係数は
\(\displaystyle \frac{s_{XY}}{s_X s_Y} = \frac{\frac{1}{5}s^2 }{\sqrt{\frac{3}{5}s^2 \cdot s^2 }} = \frac{\frac{1}{5}}{ \sqrt{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{\sqrt{15} }\)

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