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上野竜生です。問128の答えを発表します。

問128

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{32} {}_{128}C_{4k} = {}_{128}C_0+{}_{128}C_4 + {}_{128}C_{8} + \cdots + {}_{128}C_{124}+{}_{128}C_{128} \)
は2で何回割り切れるか?

 

答え

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{32} {}_{128}C_{4k} = {}_{128}C_0+{}_{128}C_4 + {}_{128}C_{8} + \cdots + {}_{128}C_{124}+{}_{128}C_{128}=A \)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{31} {}_{128}C_{4k+1} = {}_{128}C_1+{}_{128}C_5 + {}_{128}C_{9} + \cdots + {}_{128}C_{121}+{}_{128}C_{125}=B \)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{31} {}_{128}C_{4k+2} = {}_{128}C_2+{}_{128}C_6 + {}_{128}C_{10} + \cdots + {}_{128}C_{122}+{}_{128}C_{126}=C \)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{31} {}_{128}C_{4k+3} = {}_{128}C_3+{}_{128}C_7 + {}_{128}C_{11} + \cdots + {}_{128}C_{123}+{}_{128}C_{127}=D \)
とおく。二項定理より
\(\displaystyle (1+x)^{128} = \sum_{n=0}^{128} {}_{128}C_n x^n \)・・・(★)
である。(★)にx=1を代入すると
\( 2^{128}=A+B+C+D \)
(★)にx=-1を代入すると
\( 0=A-B+C-D \)
整理すると
\( A+C=2^{127} , B+D=2^{127} \)・・・①
(★)にx=iを代入すると
\( (1+i)^{128}=2^{64}=A-C+i(B-D) \)
最後の式で実部と虚部を比較することにより
\( A-C=2^{64} , B-D=0 \)・・・②
が得られる。①②より
\( A=2^{126}+2^{63} , B=2^{126} , C=2^{126}-2^{63} , D=2^{126} \)
となる。求めるのはAが2で何回割り切れるかである。
\( A=2^{63}(1+2^{63} ) \)
なので63回までは割り切れる。\(\displaystyle \frac{A}{2^{63}}=1+2^{63} \)
で右辺は奇数だから64回目は割り切れない。よって2で割り切れる回数は63回。

 

 

 

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