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上野竜生です。問130の答えを発表します。

問130

aとbは異なる正の実数とする。
\(\displaystyle \tan^{-1}{\frac{a}{b}} + \tan^{-1}{\frac{a+b}{a-b}} \)
の値を求めよ。ただし\( \tan^{-1}{x} \)は\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \)と\(\displaystyle \frac{\pi}{2} \)の間の値をとるものとする。

 

答え

\(\displaystyle \tan^{-1}{\frac{a}{b}}=\alpha , \tan^{-1}{\frac{a+b}{a-b}} =\beta \)とおく。
つまり,\(\displaystyle \tan{\alpha}=\frac{a}{b} , \tan{\beta}=\frac{a+b}{a-b} \)
\(\displaystyle \tan{(\alpha+\beta)} = \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}} \\ = \displaystyle \frac{\frac{a}{b} + \frac{a+b}{a-b}}{1-\frac{a}{b}\cdot \frac{a+b}{a-b}} \\ =\displaystyle \frac{a(a-b)+b(a+b)}{b(a-b)-a(a+b)} \\ =\displaystyle \frac{a^2+b^2}{-(a^2+b^2)}=-1 \)
よって
\(\alpha+\beta= \cdots , -\frac{5}{4}\pi , -\frac{1}{4}\pi , \frac{3}{4}\pi , \frac{7}{4}\pi ,\cdots \)
のどれかである。

a>bのとき
\(\displaystyle \frac{a}{b}>1 \)なので\(\displaystyle \frac{\pi}{4} < \alpha<\frac{\pi}{2} \)
\(\displaystyle \frac{a+b}{a-b}>0 \)なので\(\displaystyle 0 < \beta<\frac{\pi}{2} \)
よって\(\displaystyle \frac{\pi}{4} < \alpha+\beta < \pi \)となるから
\(\displaystyle \alpha+\beta=\frac{3}{4}\pi \)

a<bのとき
\(\displaystyle 0<\frac{a}{b}<1 \)なので\(\displaystyle 0 < \alpha<\frac{\pi}{4} \)
\(\displaystyle \frac{a+b}{a-b}<0 \)なので\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \beta<0 \)
よって\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{\pi}{4} \)となるから
\(\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{1}{4}\pi \)

 

 

正解者:0名

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