今週の問題　問115　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問115の答えを発表します。

問115　★

三角形ABCの角度について次の①②が成り立っている。
①$ \sin{C}=\sin{15°} $
②$ \sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin{B}\sin{C}=0 $
(1)∠Cは何度か？
(2)∠Bは何度か？

答え

答え
(1)　①よりC=15°または165°
②より$ \sin^2{B}-\sin{B}\sin{C}=\sin^2{A}>0 $
$\sin{B}>0 $より$ \sin{B}>\sin{C} $
もしC=165°だと仮定すると0<B<15°
0<x<15°の範囲ではsinxが単調増加であることに注意すると
$\sin{B}<\sin{15°}=\sin{165°}=\sin{C} $となり矛盾。
よってC=15°。
(2)　②にC=15°,A=165°-Bを代入する。
一般にsinθ=sin(180°-θ)が成り立つのでsin(165°-B)=sin(B+15°)に注意
$ \sin^2{(B+15°)}-\sin^2{B}+\sin{B}\sin{15°}=0$
$ \sin^2{B}\cos^2{15°}+2\sin{B}\cos{B}\sin{15°}\cos{15°}+\cos^2{B}\sin^2{15°}-\sin^2{B}+\sin{B}\sin{15°}=0$
$\sin^2{B}$の係数を整理すると
$ -\sin^2{B}\sin^2{15°}+2\sin{B}\cos{B}\sin{15°}\cos{15°}+\cos^2{B}\sin^2{15°}+\sin{B}\sin{15°}=0$
両辺をsin15°で割ると
$ -\sin^2{B}\sin{15°}+2\sin{B}\cos{B}\cos{15°}+\cos^2{B}\sin{15°}+\sin{B}=0$
2倍角の公式より
$ \cos{2B}\sin{15°}+\sin{2B}\cos{15°}+\sin{B}=0 $
加法定理より
$ \sin{(2B+15°)}=-\sin{B} $
2B+15°=B+180°+360n°または360n°-B
∴B=165+360n(°)または120n-5(°)
ここで0<B<165°であることに注意するとB=115°。

[別解]
正弦定理より辺の長さの条件に持ち込む
外接円の半径をRとするとa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCとなるから②を整理すると
$ a^2-b^2+bc=0 $
つまり$ a^2=b(b-c) $が成り立つのでb>cおよびa:b=(b-c):aが成り立つ。よってCは鋭角となり15°だとわかる。
三角形ABCにおいてAC上に点Dを，CD=b-cが成り立つようにとる。
$問115$
すると三角形CBDと三角形CABは2組の辺の比とその間の角が等しいから相似。(*)
ここで∠BAC=x°,∠ABD=y°とする。
三角形ABDはAB=ADの二等辺三角形だから内角の和についてx+2y=180が成り立つ。
(*)より∠DBC=x,∠BDC=x+yとなるから三角形CBDの内角の和について15+x+x+y=180が成り立つ。
これら2つの式を足すと
3(x+y)+15=360となるのでx+y=115
求める角Bはx+y=115°