今週の問題　問110　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問110の答えを発表します。

問110　★

[18　一橋大]
15個の実数x₁,x₂,・・・,x₁₅からなるデータがある。このデータの平均値を$\bar{x} $，標準偏差をsとする。
$ |x_i - \bar{x}|>2s $を満たすx_iの個数は3以下であることを証明せよ。

答え

$ |x_1 - \bar{x}|^2+ |x_2 - \bar{x}|^2 + \cdots + |x_{15}-\bar{x}|^2 =15s^2 $
もし
$ |x_i - \bar{x}|>2s $を満たすx_iの個数が4個以上あると仮定する。少なくとも4個はあるからそれらを
$x_a,x_b,x_c,x_d $とする。するとそれらの和は

$ |x_a-\bar{x}|^2+ |x_b-\bar{x}|^2+ |x_c-\bar{x}|^2+ |x_d-\bar{x}|^2>(2s)^2+(2s)^2+(2s)^2+(2s)^2=16s^2 $

$ x_a,x_b,x_c,x_d $以外の11個のデータに関しても2乗すれば0以上になるから
$ |x_i-\bar{x}|^2 \geq 0 $は成り立つ。よってそれらの11個のデータも加えた15個のデータに関する和として次が成り立つ。
$ |x_1 - \bar{x}|^2+ |x_2 - \bar{x}|^2 + \cdots + |x_{15}-\bar{x}|^2 >16s^2 $
これは
$ |x_1 - \bar{x}|^2+ |x_2 - \bar{x}|^2 + \cdots + |x_{15}-\bar{x}|^2 =15s^2 $
に矛盾。よって$ |x_i - \bar{x}|>2s $を満たすx_iの個数は3以下である。

正解者　1名（古春さま）

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