二項係数の最大・最小

答え(1)
\(\displaystyle a_n= {}_{1000}C_n 10^{1000-n} \)なので
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{{}_{1000}C_{n+1} 10^{1000-n-1}}{{}_{1000}C_n 10^{1000-n}} \\ =\displaystyle \frac{1000!}{(n+1)!(999-n)!} \cdot \frac{n!(1000-n)!}{1000!} \cdot \frac{10^{999-n}}{10^{1000-n}} \\ = \displaystyle \frac{1000-n}{10(n+1)} \)
よって
\(\displaystyle \frac{1000-n}{10(n+1)}>1 \)を解くと
\( 1000-n>10n+10 \)
\( 11n<990 \)
\( n<90 \)
同様にすると
n<90のとき\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} >1 \)
n=90のとき\(\displaystyle \frac{a_{91}}{a_{90}} =1 \)
n>90のとき\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} <1 \)
まとめると
\(a_1 < a_2 < \cdots <a_{89}<a_{90}=a_{91}>a_{92}> \cdots \)
となるので，\(a_n \)が最大となるようなnの値はn=90,91
(2)
\(\displaystyle b_n= {}_{100}C_n 3^n (-10)^{100-n} \)である。
\(b_n \)の符号は正と負の両方をとるので，最大となるのは正で絶対値が最大のとき，最小となるのは負で絶対値が最大となるとき。
よって絶対値が最大となる部分を探す。
\(\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}= \frac{{}_{100}C_{n+1} 3^{n+1} (-10)^{100-n-1}}{{}_{100}C_n 3^n (-10)^{100-n}} \\ =\displaystyle \frac{100!}{(n+1)!(99-n)!} \cdot \frac{n!(100-n)!}{100!} \cdot \frac{3^{n+1} \cdot (-10)^{99-n}}{3^n (-10)^{100-n}} \\ = \displaystyle \frac{3(100-n)}{-10(n+1)} \)
つまり
\( \displaystyle \frac{|b_{n+1}|}{|b_n|} = \frac{3(100-n)}{10(n+1)} \)
よって
\(\displaystyle \frac{3(100-n)}{10(n+1)}>1 \)を解くと
\( 300-3n>10n+10 \)
\( 13n<290 \)
\( n<22.3\cdots \)
同様にすると
n≦22のとき\(\displaystyle \frac{|b_{n+1}|}{|b_n|} >1 \)
n≧23のとき\(\displaystyle \frac{|b_{n+1}|}{|b_n|} <1 \)
まとめると
\(|b_1| < |b_2| < \cdots <|b_{22}| <|b_{23}| > |b_{24}| > \cdots \)
となる。
\(b_{23}<0 , b_{22}>0 , b_{24}>0 \)なので最小となるnは23であり，最大となるnは22か24のどちらかである。
\(\displaystyle \frac{b_{24}}{b_{22}} = \frac{{}_{100}C_{24} 3^{24} (-10)^{76}}{{}_{100}C_{22} 3^{22} (-10)^{78}} \\ =\displaystyle \frac{100!22!78!\cdot 9}{24!76!100! \cdot 100} = \frac{78 \cdot 77 \cdot 9}{24\cdot 23 \cdot 100} \cdots <1 \)
なので
\(b_{24}<b_{22} \)
となり最大となるnはn=22

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