内分・外分・中点・重心を表す複素数の公式

上野竜生です。今回は複素数で「内分」「外分」「中点」「重心」を表す複素数の計算方法を身につけましょう。

＜復習＞ベクトルでの「内分」「外分」「中点」「重心」を表す

任意の点Oと点A,B,Cをとる。

・ABをm:nに内分する点をPとすると\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{n\vec{OA}+m\vec{OB}}{m+n} \)

・ABをm:nに外分する点をPとすると\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{-n\vec{OA}+m\vec{OB}}{m-n} \)

・ABの中点をPとすると\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}\)

・三角形ABCの重心をPとすると\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}\)

ここまでは大丈夫ですよね。これとほぼ同じです。

複素数版の公式

A,B,Cを表す複素数をそれぞれ\(\alpha,\beta,\gamma\)とする。

・ABをm:nに内分する点をPとするとPを表す複素数は\(\displaystyle \frac{n\alpha+m\beta}{m+n}\)

・ABをm:nに外分する点をPとするとPを表す複素数は\(\displaystyle \frac{-n\alpha+m\beta}{m-n}\)

・ABの中点をPとするとPを表す複素数は\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\)

・三角形ABCの重心をPとするとPを表す複素数は\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\)

まったく同様ですね。

練習

公式に従って計算するだけです。