無理数であることの証明

上野竜生です。数学でよくある無理数の証明方法についてまとめてみました。基本的に直接は示せないので背理法（有理数と仮定して矛盾を導く）を使います。

有理数・無理数とは？

整数a,bを用いてa/b（分数）の形に書けるものを有理数，書けない実数を無理数といいます。よくある間違いとして3分の1が0.33333・・・と割り切れないから無理数だという人がいますが正しくは分数の形でかけるので有理数です。

√2が無理数であることの証明

その１

√2が有理数であると仮定する。つまり\( \sqrt{2}=\frac{n}{m} \)と書けるとする。

整理すると2m²=n²

左辺は2で奇数回割り切れるが，右辺は2で偶数回割り切れる。

よって両辺が等しいことに矛盾。背理法より√2は無理数

その２

√2が有理数であると仮定する。互いに素(最大公約数が1である)な整数m,nを用いて\( \sqrt{2}=\frac{n}{m} \)と書けるとする。

整理すると2m²=n²

左辺は偶数だからnは偶数である。よってn=2kとかける。すると

2m²=4k²となりm²=2k²である。よって右辺が偶数だから左辺も偶数で，mは偶数である。

mとnが両方偶数であることはm,nが互いに素であることに矛盾。

よって√2は無理数である。

log₁₀2が無理数であることの証明

log₁₀2が有理数であると仮定する。log₁₀2>0より自然数n,mを用いて

\( \log_{10}{2}=\frac{n}{m} \)とおける。

整理すると\( 2=10^{\frac{n}{m}} \)

両辺m乗すると2^m=10ⁿ

右辺は5で割り切れるが左辺は5で割り切れない。よって矛盾

背理法よりlog₁₀2は無理数である。

あとは数字が違うだけや3乗根など，同様にできるものがほとんどです。ごくまれに誘導がついてπやeが無理数であることを示す問題が出ますが長くなるのでここでは割愛します。

基本方針は有理数と仮定して矛盾を導く。そのことは覚えておきましょう。