不等式の証明（複雑で工夫がいるパターン）｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。不等式の証明の基本はf(x)=(左辺)-(右辺)を計算しf'(x)を計算してfの最小値＞0などを示すものです。少し応用としてf'(x)=0が解けない場合にf''(x)まで計算するパターンまでは学習しました。今回は単純にこのパターンでやると解けない問題を２つ紹介します。

例題１

x>1のとき$x^{2x-1} > (2x)^{x-1} $を証明せよ。

単純に(左辺)-(右辺)>0を示す方針ではなかなかうまくいきません。まず一工夫してから解いてみましょう。指数になっているものは対数をとればいいですね。

答え対数をとった式
$\displaystyle (2x-1)\log{x} > (x-1)\log{2x} $を示せば十分。
$ f(x)=(2x-1)\log{x}-(x-1)\log{2x} $とおいてf(x)>0を示す。
$ f’(x)=2\log{x} + \frac{2x-1}{x} - \log{2x} - \frac{2x-2}{2x}=\log{x}-\log{2}+1 >0 $
x>1では単調増加。f(1)=0なのでf(x)>0

普通に$ g(x)=x^{2x-1}-(2x)^{x-1} $とおいてしまうと
$ g’(x)=x^{2x-1}\cdot (2\log{x}+2-\frac{1}{x}) - (2x)^{x-1} \cdot (\log{2x} + 1 -\frac{1}{x}) $
までは計算できますがそこで詰みますね。

例題２

x>0のとき$e^{2x}-xe^x-1>0 $を証明せよ。

答え(前半)$ f(x)=e^{2x}-xe^x-1 $とおく。
$ f’(x)=2e^{2x}-e^x-xe^x $

ここでf’(x)の正負がわからないので基本ではf’’(x)を計算してf’(x)が単調だというのですがこれだと
$ f’’(x)=4e^{2x}-e^x-e^x-xe^x $となって何回微分しても正負がわかりません。ではどうするかというと$f’(x)=e^x(2e^x-1-x) $と「因数分解」して$ e^x>0$は明らかだから$ 2e^x-1-x >0 $を示せばいいという方針に持ち込みます。

答え(後半)$ g(x)=2e^x-1-x $とおくと

$ g’(x)=2e^x-1 >0 (∵x>0) $
よってg(x)は単調増加でありg(0)=1だからx>0でg(x)>0
$ f’(x)=e^x g(x)>0 $となりf(x)は単調増加。
f(0)=0だからf(x)>0

別解
$ e^x(e^x-x)>1 $を示す。$ x>0$のとき$ e^x>1 $だから$ e^x-x >1 $を示せばよい。
$ h(x)=e^x-x $とおくと$ h’(x)=e^x-1 >0 $だからh(x)は単調増加で
h(0)=1よりh(x)>1　よって成立。

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