不定方程式　応用問題

答え(1)整理すると
\( x(x^2+y^2+2y)=6 \)
\( x,x^2+y^2+2y \)は整数だから
\((x,x^2+y^2+2y)=(1,6),(2,3),(3,2),(6,1),(-1,-6),(-2,-3),(-3,-2),(-6,-1)\)
ここで\( x^2+y^2+2y=x^2+(y+1)^2-1 \geq x^2-1\)であることに注意すると
\((x,x^2+y^2+2y)=(1,6),(2,3)\)
x=1のとき\(y^2+2y=5 \)より\( y=-1 \pm \sqrt{6} \)
となり整数ではないので不適
x=2のとき\(y^2+2y=-1 \)よりy=-1
以上より(x,y)=(2,-1)
(2)整理すると
\( (x-3)(x^2+3x+y)=-1 \)
\( (x-3, x^2+3x+y)=(1,-1),(-1,1) \)
それぞれについて(x,y)を計算すると
(x,y)=(4,-29),(2,-9)

答えx＞yであることに注意。つまりx-y>0

\( (x-y)(x^2+xy+y^2)=98 \)より
\( (x-y,x^2+xy+y^2)=(1,98),(2,49),(7,14),(14,7),(49,2),(98,1) \)・・・①
ここで
\( x^2+xy+y^2-(x-y) \\ = x^2+(y-1)x+y^2+ y \\ \displaystyle = (x+\frac{y-1}{2})^2 +\frac{3}{4}y^2 +\frac{3}{2}y-\frac{1}{4} \\ \displaystyle = (x+\frac{y-1}{2})^2 +\frac{3}{4}(y+1)^2-1 \geq -1 \)
なのでこれを満たすものは
\( (x-y,x^2+xy+y^2)=(1,98),(2,49),(7,14) \)・・・②
x-y=1または7のとき偶奇を考えるとx,yの偶奇は異なる。
(x,y)=(偶数,奇数)なら(x²,xy,y²)=(偶数,偶数,奇数)なのでx²+xy+y²=奇数
(x,y)=(奇数,偶数)なら(x²,xy,y²)=(奇数,偶数,偶数)なのでx²+xy+y²=奇数
よって\(x^2+xy+y^2=98,14\)にはならない。
∴x-y=2かつ\(x^2+xy+y^2=49 \)・・・③

③よりx=y+2を代入すると
\( (y+2)^2+(y+2)y+y^2= 3y^2 + 6y+4=49 \)
∴\( 3(y+5)(y-3)=0 \)
(x,y)=(-3,-5),(5,3)

答えmが偶数のときm²は4の倍数。
mが奇数のときm=2k+1とすると\( m^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1 \)なので4で割った余りは1。
よって右辺を4で割った余りは0または1
左辺を4で割った余りを考える。4を法とした剰余類で考える。
\( 5^n-9 ≡ (-1)^n +3 \)
nが奇数のとき左辺を4で割った余りは2
nが偶数のとき左辺を4で割った余りは0
よってnは偶数である。そこでn=2kとおく。
\( 5^{2k}-m^2=9 \)
\( (5^k+m)(5^k-m)=9 \)とおくことができる。
\( (5^k+m , 5^k-m)=(1,9),(3,3),(9,1),(-1,-9),(-3,-3),(-9,-1) \)
これより\( (5^k,m)=(5,-4),(3,0),(5,4),(-5,4),(-3,0),(-5,-4) \)
kは整数だから\( (5^k,m)=(5,-4),(5,4) \)
よってk=1,m=±4
n=2kだからn=2,m=±4

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