円柱の切断の体積

上野竜生です。今回はよくある円柱を45度に切断したときの体積の求め方を紹介します。一般的な参考書とは違い，数式で扱うので空間認識能力はたいして必要ではない解法を紹介します。

例題

このタイプの問題ではよく図形をかいてうまく切断すれば直角三角形になる・・・などと紹介されることが多いです。ですが空間認識力が非常に重要になってきてどうしても切断面の形を想像できない人もいると思います。そこで数式で処理する方法を教えます。

底面がxy平面上にある円\( x^2+y^2=4 \)であるとし\( A(1,\sqrt{3},0) , B(1,-\sqrt{3},0),C(-2,0,0) \)としても一般性を失わない。切断面の平面の方程式は(1)ではz=x-1, (2)ではz=1-xとなっていることに注意。

(1)

求める領域は\( x^2+y^2 \leq 4 , 0\leq z \leq x-1 \)である。

ア　x=tで切断する

切断面は\( -\sqrt{4-t^2} \leq y \leq \sqrt{4-t^2} , 0\leq z \leq t-1 \)なので面積S(t)は
\( S(t)=2\sqrt{4-t^2}(t-1) \)

tの範囲は1つ目の式から\( -2\leq t \leq 2\)，2つ目の式から\( 0 \leq t -1 \)なので\( 1\leq t \leq 2\)

体積は\(\displaystyle \int_1^2 2(t-1)\sqrt{4-t^2}dt \)
\(t=2\sin{\theta}\)とおくと

イ　y=tで切断する

切断面は\( -\sqrt{4-t^2} \leq x \leq \sqrt{4-t^2}, 0 \leq z \leq x-1 \)なのでその面積は
\(\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}(\sqrt{4-t^2}-1)^2 = \frac{5}{2}-\frac{1}{2}t^2 - \sqrt{4-t^2}\)

tの範囲は図より\( 1\leq \sqrt{4-t^2} \)なので\( -\sqrt{3}\leq t \leq \sqrt{3} \)

体積は偶関数の積分であることに注意すると
\(\displaystyle \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{5}{2}-\frac{1}{2}t^2-\sqrt{4-t^2}dt = 2\int_0^{\sqrt{3}}\frac{5}{2}-\frac{1}{2}t^2-\sqrt{4-t^2}dt \\ \displaystyle = \left[ 5t-\frac{1}{3}t^3 \right]_0^{\sqrt{3}} - \frac{4}{3}\pi -\sqrt{3} \\ \displaystyle = 5\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi - \sqrt{3}=3\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi \)

途中の積分を省略してますが図より
\(\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-t^2}dt \)
は図の赤色部分の面積で扇形＋三角形で求められるので
\(\displaystyle \frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2} \)となります。

ウ　z=tで切断する

切断面は\( x^2+y^2\leq 4 , x \geq t+1 \)なのでその面積は
(扇形)－(三角形)の面積で
\( S(t)=4\theta - 4\sin{\theta}\cos{\theta} \)　ただし\(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{t+1}{2} \)

tの範囲は\( 0 \leq t \leq x-1 \)なので\( t\geq 0 \)
また図より\( t+1 \leq 2 \)なので\( t\leq 1\)　以上より\( 0 \leq t\leq 1\)

体積は
\(\displaystyle \int_0^1 4\theta-4\sin{\theta}\cos{\theta}dt = \int_{\frac{\pi}{3}}^0 (4\theta - 4\sin{\theta}\cos{\theta})(-2\sin{\theta})d\theta \\ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} 8\theta \sin{\theta}-8\sin^2{\theta}\cos{\theta} d\theta \\ \displaystyle = \left[ -8\theta\cos{\theta} \right]_0^{\frac{\pi}{3}} + \int_0^{\frac{\pi}{3}} 8\cos{\theta}d\theta - \left[ \frac{8}{3}\sin^3{\theta} \right]_0^{\frac{\pi}{3}} \\ \displaystyle = -\frac{4}{3}\pi + \left[ 8\sin{\theta} \right]_0^{\frac{\pi}{3}} - \frac{8}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \\ \displaystyle = -\frac{4}{3}\pi + 4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi \)

(2)

求める領域は\( x^2+y^2 \leq 4, 0 \leq z \leq 1-x \)である。

ア　x=tで切断する

\(-\sqrt{4-t^2}\leq y \leq \sqrt{4-t^2} , 0\leq z \leq 1-t \)
面積は\(\displaystyle S(t)=2(1-t)\sqrt{4-t^2} \)

tの範囲は\( -2\leq t \leq 2\)かつ\( 0 \leq 1-t \)なので\( -2\leq t \leq 1\)

体積は
\(\displaystyle \int_{-2}^1 2(1-t)\sqrt{4-t^2}dt \\ \displaystyle = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} 2(1-2\sin{\theta})2\cos{\theta}\cdot 2\cos{\theta} d\theta \\ \displaystyle = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} -16\cos^2{\theta}\sin{\theta}d\theta + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} 4(\cos{2\theta}+1)d\theta \\ \displaystyle = \left[ \frac{16}{3}\cos^3{\theta} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} + \left[ 2\sin{2\theta}+4\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} \\ \displaystyle = \frac{16}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 + \sqrt{3}+\frac{2}{3}\pi+2\pi =3\sqrt{3}+\frac{8}{3} \pi \)

イ　y=tで切断する

\( -\sqrt{4-t^2} \leq x \leq \sqrt{4-t^2} , 0\leq z \leq 1-x\)
面積は
\( -\sqrt{3} \leq t \leq \sqrt{3}\)のとき
\(\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}(\sqrt{4-t^2}+1)^2= \frac{5}{2}-\frac{1}{2}t^2+\sqrt{4-t^2} \)
\( \sqrt{3} \leq |t| \leq 2\)のとき
\(\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}(1+\sqrt{4-t^2}+1-\sqrt{4-t^2})(\sqrt{4-t^2}+\sqrt{4-t^2}) =2\sqrt{4-t^2} \)

よって体積はS(t)が偶関数であることに注意すると
\(\displaystyle S(t)=2\int_0^{\sqrt{3}} \frac{5}{2}-\frac{1}{2}t^2+\sqrt{4-t^2}dt+2\int_{\sqrt{3}}^2 2\sqrt{4-t^2}dt \\ \displaystyle = 2\left[ \frac{5}{2}t-\frac{1}{6}t^3 \right]_0^{\sqrt{3}} + (2\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-t^2}dt + 2\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-t^2}dt ) + 2\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-t^2}dt \\ \displaystyle = 5\sqrt{3}-\sqrt{3} + 2\pi + 2\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-t^2}dt \\ \displaystyle =4\sqrt{3}+2\pi + 2\left( \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)= 3\sqrt{3}+\frac{8}{3} \pi \)

\(\displaystyle (2\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-t^2}dt + 2\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-t^2}dt ) = 2\int_0^2 \sqrt{4-t^2}dt \)
は半径2の円の面積の半分なので2π。また，

図より\(\displaystyle \int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-t^2}dt = \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \)

ウ　z=tで切断する

切り口は\( x^2+y^2\leq 4 , 0 \leq t \leq 1-x \)

面積は\(S(t)=4\theta-4\sin{\theta}\cos{\theta} \)　ただし\(\displaystyle \cos{\theta}=-\frac{1-t}{2}=\frac{t-1}{2} \)

体積は
\(\displaystyle \int_0^3 4\theta-4\sin{\theta}\cos{\theta}dt = \int_{\frac{2}{3}\pi}^0 (4\theta-4\sin{\theta}\cos{\theta})\cdot (-2\sin{\theta})d\theta \\ \displaystyle = \int_0^{\frac{2}{3}\pi} 8\theta\sin{\theta}-8\sin^2{\theta}\cos{\theta}d\theta \\ \displaystyle = [-8\theta \cos{\theta}]_0^{\frac{2}{3}\pi} + \int_0^{\frac{2}{3}\pi} 8\cos{\theta}d\theta- \left[ \frac{8}{3}\sin^3{\theta} \right]_0^{\frac{2}{3}\pi} \\ \displaystyle = \frac{8}{3}\pi + [8\sin{\theta}]_0^{\frac{2}{3}\pi}-\frac{8}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 \\ \displaystyle =\frac{8}{3}\pi +4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}+\frac{8}{3}\pi \)

エ

高さが2のところで2つに切断する。

上側の部分は(1)と全く同じ形なので(1)より\(\displaystyle 3\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi \)
下側の部分は求める部分と求めない部分が全く同じ形なので円柱の体積を2で割ればよい。
\(\displaystyle 4\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}=4\pi \)
合わせて\(\displaystyle 3\sqrt{3}+\frac{8}{3}\pi \)