上野竜生です。数IIIの「複素数平面」の章末問題として定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。
解答上の注意
・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。
・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消えると萎えるので解答は紙にメモしながら解き、最後にまとめて入力することをオススメします。
・試験1日前に解くことも想定して一瞬で採点できるマークシート式の問題にしています。記述問題はありませんが導出過程や証明も大事にしましょう。
解答用紙の記入の注意
空欄1つに2ケタ以上が入るかもしれません。1つの問に複数の空欄がある場合は半角カンマ(,)で区切って入力してください。なお必ず整数値を入力してください（下の例2参照）
例１： [ア]\(\sqrt{[イ]}\)に\( 12\sqrt{2} \)と解答する場合 [ア,イ]の解答欄に12,2と入力しなさい。
例２： \([ア]x^2+[イ]x+[ウ] \)に\( x^2-x \)と解答する場合[ア,イ,ウ]の解答欄に1,-1,0と入力しなさい。
例３： アに選択肢③を解答する場合[ア]の解答欄に3と入力しなさい。
第1問 (30点)
(1) \(\alpha=12(\cos{2}+i\sin{2}) , \beta=3(\cos{1}-i\sin{1}) \)とするとき
\(\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=[ア](\cos{[イ]}+i\sin{[イ]})\)である。ただし[ア]>0とする。
(2) \( z^{12}=2-2i \)を満たすzのうち偏角(0≦argz<2π)が最も小さいものをz’とする。
このとき\(\displaystyle z’=\sqrt[(ウ)]{2} (\cos{\frac{[エ]}{[オ]}\pi}+i\sin{\frac{[エ]}{[オ]}\pi}) \)である。
(3) 複素数平面上の点\(A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\)が
\( (\alpha-\beta)-i(\beta-\gamma)+(\sqrt{2}-i)(\gamma-\alpha)=0 \)
を満たすとき，∠A=[カ]°,∠B=[キ]°の三角形になる。
① 15 ② 22.5 ③ 30 ④ 45 ⑤ 60 ⑥ 67.5 ⑦ 75 ⑧ 90
第2問 (15点)
\(\displaystyle z+\frac{100}{z} \)が実数となり、かつ\(\displaystyle 12 \leq z+\frac{100}{z} \leq 25 \)を満たしながら複素数zが動くとき
|z-5i|の最大値は\([ク]\sqrt{[ケ]}\),最小値は\([コ]\sqrt{[サ]}\)である。
第3問 (15点)
\( (1+i)z+(-1+i)\bar{z} = 8i \)・・・① について考える。
(1) zは直線を動く。実軸との交点は[シ],虚軸との交点は[ス]iである。
(2) \( |2z-i|=r|z-\alpha |\)を満たすzの範囲が①と一致するとき、
\(\displaystyle r=[セ] \alpha=\frac{[ソ]+[タ]i}{[チ]}\)である。
(3) \(\alpha\)は(2)の値とする。\(\displaystyle w=\frac{1}{z} \)とおくときzが
\(\displaystyle |2z-i|=|z-\frac{2\alpha-1}{2}| \)の範囲を動くならwは
中心\(\displaystyle \frac{[ツ]+[テ]i}{[ト]}\)，半径\(\displaystyle \frac{\sqrt{[ナ]}}{[ニ]} \)の円を描く
第4問 (25点)
\(A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\)は複素数平面上で単位円周上にある異なる点とする。
(1) 三角形ABCの外心を表す複素数は[ヌ]であり，重心を表す複素数は[ネ]である。
① 0 ② \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma \) ③ \(\displaystyle \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3} \)
④ \(\displaystyle \frac{\alpha\beta}{\gamma}+\frac{\beta\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma\alpha}{\beta} \) ⑤ \(\displaystyle \frac{\alpha\beta}{2\gamma}+\frac{\beta\gamma}{2\alpha}+\frac{\gamma\alpha}{2\beta} \) ⑥ \(\displaystyle \frac{\alpha\beta}{3\gamma}+\frac{\beta\gamma}{3\alpha}+\frac{\gamma\alpha}{3\beta} \)
⑦ \(\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} \) ⑧ \(\displaystyle \frac{1}{2\alpha}+\frac{1}{2\beta}+\frac{1}{2\gamma} \) ⑨ \(\displaystyle \frac{1}{3\alpha}+\frac{1}{3\beta}+\frac{1}{3\gamma} \)
(2) 垂心\( H(z) \)を表す複素数zを求めよう。
AH⊥BCより[ノ]
① \( \overline{(z-\alpha)(\beta-\gamma)}= (z-\alpha)(\beta-\gamma) \)
② \( \overline{(z-\alpha)(\beta-\gamma)}= -(z-\alpha)(\beta-\gamma) \)
③ \(\displaystyle \overline{ \left( \frac{z-\alpha}{\beta-\gamma} \right) }=\frac{z-\alpha}{\beta-\gamma}\) ④ \(\displaystyle \overline{ \left( \frac{z-\alpha}{\beta-\gamma} \right) }=-\frac{z-\alpha}{\beta-\gamma}\)
また単位円の円周上の点だから\(\bar{\alpha}=[ハ]\)
① \(\alpha \) ② \( -\alpha \) ③ \( \displaystyle \frac{1}{\alpha} \) ④ \(\displaystyle -\frac{1}{\alpha} \) ⑤ \( 1-\alpha \)
ここから\( \bar{\alpha} , \bar{\beta} , \bar{\gamma} \)を消去すると\(\bar{z}=[ヒ](z-\alpha)+[フ]\)
① \(\alpha \) ② \(-\alpha \) ③ \(\displaystyle \frac{1}{\alpha} \) ④ \(\displaystyle -\frac{1}{\alpha} \)
⑤ \(\beta \gamma \) ⑥ \(-\beta \gamma \) ⑦ \(\displaystyle \frac{1}{\beta\gamma} \) ⑧ \(\displaystyle -\frac{1}{\beta \gamma} \)
同様にBH⊥ACから\( \bar{z}\)についての関係式を作り\( \bar{z} \)を消去すると
垂心を表す複素数zはz=[ヘ]である。（[ヘ]の選択肢は(1)と同じ）
第5問 (15点)
点\(P_n,Q_n\)を以下のように定める。
\(P_0=(0,0) , Q_0=(4,0) , Q_1=(4,3) \)
\(P_n\)と\(Q_{n+1}\)の中点を\(P_{n+1}\)とする。また三角形\(Q_{n+2}P_{n+1}Q_{n+1}\)と三角形\(Q_{n+1}P_nQ_n\)が相似になるように\(Q_{n+2}\)を定める。
\(n\to \infty\)としたとき\(P_n\)の収束する点をPとするとPの座標は\(\displaystyle \left( \frac{[ホ]}{[マ]} , \frac{[ミ]}{[ム]} \right) \)となる。
問題は以上です。
解答用紙
解答用紙はgoogleフォームを使用しています。
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