直線の方程式（複素数平面）

上野竜生です。複素数平面での直線の方程式の求め方について紹介します。

<復習>

特にθ=0°or180°　⇔　右辺が実数　⇔α,β,γは同一直線上
θ=90°or270°　⇔　右辺が純虚数or0　⇔αβとαγは垂直
つまり

3点\(\alpha,\beta,\gamma\)が同一直線上　⇔\(\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\)が実数

2直線\(\alpha\beta,\alpha\gamma\)が垂直　⇔\(\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\)が0または純虚数

一般にz=x+iyの共役複素数を\(\bar{z}=x-iy \)としたとき
zが実数　⇔　\( z=\bar{z} \)
zが0または純虚数　⇔　\(z=-\bar{z}\)

ここまで理解すればあとは簡単です。

①　2点α,βを通る直線の方程式

(証明)2点α,βを通る直線上にzがある
⇔α,β,zは同一直線上
⇔\( \left( \frac{z-\alpha}{\beta-\alpha} \right) \)は実数
⇔\(\displaystyle \left( \frac{z-\alpha}{\beta-\alpha}\right) = \overline{\left( \frac{z-\alpha}{\beta-\alpha}\right)} \)

αとβはどっちでもいいので分子のαは両辺ともβに変えても問題ありません。

②　αを通り，\(\vec{Oβ} \)に平行な直線の方程式

分母をβ-0=βに変えるだけです。

③　αを通り，\(\vec{Oβ} \)に垂直な直線の方程式

θ=90°or270°　⇔　複素数が純虚数or0　⇔　\(z=-\bar{z} \)なので右辺にマイナスをつけるだけです。

④αとβの垂直二等分線の方程式

なお，今まで通り「α,βの中点を通り，直線αβに垂直な直線」として立式すると
\(\displaystyle \frac{z-\frac{\alpha+\beta}{2}}{\beta-\alpha}=-\overline{\left(\frac{z-\frac{\alpha+\beta}{2}}{\beta-\alpha}\right)}\)となりますが同値です。両辺に\((\beta-\alpha)\overline{(\beta-\alpha)}\)をかけると

展開すると

整理すると
\(-z\bar{\alpha}-\bar{z}\alpha+|\alpha|^2=-z\bar{\beta}-\bar{z}\beta+|\beta|^2\)
両辺に\(|z|^2\)を加えて整理すると
\((z-\alpha)\overline{(z-\alpha)}=(z-\beta)\overline{(z-\beta)}\)
よって\(|z-\alpha|=|z-\beta| \)

という風に一応変形すれば作れますが、美しい公式なので結果を暗記しておくとよいでしょう。

練習

公式に当てはめるだけです。

(2)　(1)の両辺を-i倍しただけなので(1)を解いた直後なら逆算できて(1)の図形と言えますが(2)が突然出た場合は素直にz=x+iyとおいて整理します。

もちろん1+2i,3-4iも通るので1+2i,3-4iを通る直線と答えてもOKです。

まとめると次のようになります。