円の方程式（複素数平面）｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。複素数平面上で円の方程式を表す方法を２つ紹介します。

$円の方程式(複素数平面)$

複素数平面上で円の方程式を表す

ケース１　|z-α|=r

これはほとんど自明ですね。αを中心とする半径rの円になります。

ケース２　m|z-α|=n|z-β|

これは数IIの軌跡のところでやったと思いますがαとβの距離の比がn:mになるような点の軌跡，つまりn=mのときは垂直二等分線で，n≠mのときはアポロニウスの円でしたね。

ということはαとβをn:mに内分する点とn:mに外分する点を直径とする円になります。

次の例題で確認してみましょう。解法１はアポロニウスの円を使っています。

解法２のようにうまく式変形すればケース１のような|z-α|=rの形に変形することができますし解法３のようにxy座標で考えることもできます。

例題

|z-3i|=2|z+3|はどのような図形を表すか？

解法１　アポロニウスの円

答え式の形から3iと-3との距離が2:1になる点の軌跡を表す。
3iと-3を2:1に内分する点は-2+i
3iと-3を2:1に外分する点は-6-3iなので
-2+iと-6-3iを直径の両端とする円

中心と半径を求めておくと
中心は-2+iと-6-3iの中点なので-4-i
半径は中心と-2+iもしくは-6-3iとの距離なので$2\sqrt{2} $
つまり-4-iを中心とする半径$2\sqrt{2} $の円となります。

解法２　式変形

答え両辺は0以上なので2乗すると

$ |z-3i|^2=4|z+3|^2 $
$ (z-3i) \overline{(z-3i)}=4(z+3)\overline{(z+3)} $
$ (z-3i)(\overline{z}+3i)=4(z+3)(\overline{z}+3) $
$ |z|^2-3i\overline{z} +3iz+9 = 4|z|^2+12z+12\overline{z}+36 $
$ 3|z|^2+(12-3i)z+(12+3i)\overline{z} +27=0 $
$ |z|^2+\overline{(4+i)}z+(4+i)\overline{z} +9=0 $
$ (z+4+i) \overline{(z+4+i)}=8 $
$ |z+4+i|=2\sqrt{2} $

よって-4-iを中心とする半径$2 \sqrt{2} $の円