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上野竜生です。今回は三角方程式と三角不等式のうち数I範囲のものを教えます。どっちにしろ数IIでやり直すことになるので数I範囲としてはそこまで重要な問題ではないです。
例題１
0°≦θ≦180°とする。次の方程式・不等式を解け。
(1)\(\displaystyle \sin{\theta} = \frac{1}{2} \)
(2)\(\displaystyle \cos{\theta} > -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
(3)\(\displaystyle \tan{\theta} \leq -\sqrt{3} \)
(1)\(\displaystyle \sin{\theta} = \frac{1}{2} \)
(2)\(\displaystyle \cos{\theta} > -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
(3)\(\displaystyle \tan{\theta} \leq -\sqrt{3} \)
単位円を書いた時のx座標がcosθ,y座標がsinθ，原点との傾きがtanθです。
答え(1)\(\displaystyle \sin{\theta} = \frac{1}{2} \)となるのはy座標が\(\frac{1}{2} \)になるところなのでθ＝30°,150°
(2)\(\displaystyle \cos{\theta} > -\frac{1}{\sqrt{2}} \)となるのはx座標が\(-\frac{1}{\sqrt{2}} \)より大きいところなので0°≦θ＜135°
(2)\(\displaystyle \cos{\theta} > -\frac{1}{\sqrt{2}} \)となるのはx座標が\(-\frac{1}{\sqrt{2}} \)より大きいところなので0°≦θ＜135°
このように等号なし不等式なのに片側に等号があってもう片方は等号がないということもあるので，等号の有無のミスが起きやすいです。両端はセーフかアウトか慣れるまでは個別に確認していきましょう。
答え(3)\(\displaystyle \tan{\theta} \leq -\sqrt{3} \)となるのは傾きが\(-\sqrt{3} \)以下のところなので90°＜θ≦120°
通常はθ=90°のとき（tanθが未定義のとき）は答えに含みません。しかし実際は問題文の段階でθ≠90°と指定されることも多いです。
基本的な等式・不等式が解けるようになったら少し応用問題を解いてみましょう。ここからは「例題１のような基本的な方程式・不等式」まで導けたらそこから先は（細かい解説がなくても）解けることが前提となります。
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例題２
0°≦θ≦180°とする。次の方程式・不等式を解け。
(1)\(5\sin{\theta} + 1=3\sin{\theta} +2 \)
(2)\(\tan{\theta}=\sqrt{2} \cos{\theta} \)（ただしθ≠90°とする）
(3)\(\displaystyle 2\sin^2{\theta}+5\cos{\theta}+1>0 \)
(1)\(5\sin{\theta} + 1=3\sin{\theta} +2 \)
(2)\(\tan{\theta}=\sqrt{2} \cos{\theta} \)（ただしθ≠90°とする）
(3)\(\displaystyle 2\sin^2{\theta}+5\cos{\theta}+1>0 \)
答え(1)\(5\sin{\theta} + 1=3\sin{\theta}+2 \)
\( 2\sin{\theta}=1 \)
\(\displaystyle \sin{\theta}=\frac{1}{2} \)
なので例題１(1)と同じくθ=30°,150°
(2)\(\displaystyle \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \sqrt{2} \cos{\theta} \)
両辺を\(\cos{\theta} \)倍すると
\( \sin{\theta}=\sqrt{2}\cos^2{\theta}=\sqrt{2}(1-\sin^2{\theta} ) \)
\( t=\sin{\theta} \)とおくと
\( t=\sqrt{2}-\sqrt{2}t^2 \)
\( \sqrt{2}t^2+t-\sqrt{2} = (\sqrt{2}t-1)(t+\sqrt{2})=0 \)
\(\displaystyle t=\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}} , -\sqrt{2} \)
ただし-1≦sinθ≦1なので\(\displaystyle \sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
よってθ=45°,135°
(3)\(\displaystyle 2\sin^2{\theta}+5\cos{\theta}+1 \\ = 2-2\cos^2{\theta}+5\cos{\theta}+1>0 \)
両辺を(-1)倍すると
\( 2\cos^2{\theta}-5\cos{\theta}-3 \\ = (2\cos{\theta}+1)(\cos{\theta}-3) <0 \)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}<\cos{\theta}<3 \)
よって0°≦θ＜120°
\( 2\sin{\theta}=1 \)
\(\displaystyle \sin{\theta}=\frac{1}{2} \)
なので例題１(1)と同じくθ=30°,150°
(2)\(\displaystyle \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \sqrt{2} \cos{\theta} \)
両辺を\(\cos{\theta} \)倍すると
\( \sin{\theta}=\sqrt{2}\cos^2{\theta}=\sqrt{2}(1-\sin^2{\theta} ) \)
\( t=\sin{\theta} \)とおくと
\( t=\sqrt{2}-\sqrt{2}t^2 \)
\( \sqrt{2}t^2+t-\sqrt{2} = (\sqrt{2}t-1)(t+\sqrt{2})=0 \)
\(\displaystyle t=\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}} , -\sqrt{2} \)
ただし-1≦sinθ≦1なので\(\displaystyle \sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
よってθ=45°,135°
(3)\(\displaystyle 2\sin^2{\theta}+5\cos{\theta}+1 \\ = 2-2\cos^2{\theta}+5\cos{\theta}+1>0 \)
両辺を(-1)倍すると
\( 2\cos^2{\theta}-5\cos{\theta}-3 \\ = (2\cos{\theta}+1)(\cos{\theta}-3) <0 \)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}<\cos{\theta}<3 \)
よって0°≦θ＜120°
例題３
0°＜θ＜90°とするとき\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2{\theta}} - 2\tan{\theta}+3 \)の最小値とそのときのθの値を求めよ。
答え\( t=\tan{\theta} \)とおくと0°＜θ＜90°なのでt>0
\(\displaystyle t^2= \frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}} = \frac{1-\cos^2{\theta}}{\cos^2{\theta}} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}-1 \)
なので\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2{\theta}}=t^2+1 \)
よって
\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2{\theta}} - 2\tan{\theta}+3\\ = t^2+1-2t+3\\ = (t-1)^2+3 \)
はt>0の範囲ではt=1で最小値3をとる。
t=tanθ=1を解くとθ=45°なのでθ=45°のとき最小値3をとる。
\(\displaystyle t^2= \frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}} = \frac{1-\cos^2{\theta}}{\cos^2{\theta}} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}-1 \)
なので\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2{\theta}}=t^2+1 \)
よって
\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2{\theta}} - 2\tan{\theta}+3\\ = t^2+1-2t+3\\ = (t-1)^2+3 \)
はt>0の範囲ではt=1で最小値3をとる。
t=tanθ=1を解くとθ=45°なのでθ=45°のとき最小値3をとる。
数Iでは応用問題としてあげられていますが数IIだと標準問題となって復活します。そのときにしっかりできれば十分です。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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