上野竜生です。今回はzがある図形を動き，w=f(z)で変換したときのwの図形を答える問題を解説します。
基本
step1 ： w=f(z)をzについて解き，z=g(w)の形に直す
step2 ： z=g(w)をもとの式に代入して整理
step3 ： 以下の有名パターンになればそれで答える。
なおstep1でうまく解けなかったりstep3でどうしても有名パターンにならなければ最終手段としてz=x+iyとおき軌跡の問題に帰着させればOKです。
有名パターン
|z-α|=k
αを中心とする半径kの円
m|z-α|=n|z-β|
⇔αからの距離とβからの距離がn:mになる点の軌跡
⇔（m=nのとき）αとβの垂直二等分線
(m≠nのとき）αとβをn:mに内分する点とn:mに外分する点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）
これらのことは軌跡と領域の分野で学習済みだと思います。忘れた人はアポロニウスの円まで戻ってください。
例題
(1) w=2iz+3
(2) \displaystyle w=\frac{1}{z}
(3) \displaystyle w=\frac{z+2i}{3z+4i}
\displaystyle \left|\frac{w-3}{2i}-1 \right|=2
よって|w-3-2i|=2|2i|=4となり3+2iを中心とする半径4の円
(2) \displaystyle w=\frac{1}{z} ⇔\displaystyle z=\frac{1}{w} なのでこれを代入すると
\displaystyle \left|\frac{1}{w}-1 \right| =2
|1-w|=2|w|つまり|w-1|=2|w|となるので
1からの距離と0からの距離が2:1となる点の軌跡。
よって-1と\frac{1}{3}を直径の両端とする円となり
中心 -\frac{1}{3} ，半径\frac{2}{3} の円
(3) \displaystyle w=\frac{z+2i}{3z+4i}
⇔ 3zw+4iw=z+2i
⇔ (3w-1)z=2i-4iw
⇔\displaystyle z=\frac{2i-4iw}{3w-1} なのでこれを代入すると\displaystyle (w\neq \frac{1}{3})
なので
\displaystyle 5\left| w- \frac{11+2i}{25} \right|=6\left|w-\frac{1}{3} \right| となるので
\displaystyle \frac{11+2i}{25} からの距離と\frac{1}{3} からの距離の比が6:5になる点の軌跡。
よって\displaystyle \frac{21+2i}{55},\frac{-1-2i}{5} を直径の両端とする円になり
中心\displaystyle \frac{5-10i}{55}=\frac{1-2i}{11} ，半径\displaystyle \frac{4}{11} の円
最後は計算が複雑ですが頑張って計算しましょう。
一般に\displaystyle w= \frac{az+b}{cz+d} による変換を一次変換（一次分数変換）といい同様のやり方で計算できます。一次分数変換には(1)や(2)の形も含まれていることに注意してください。一次分数変換は「円または直線」を「円または直線」にうつすという性質があります。（円が直線に，直線が円に，円が円に，直線が直線にの４パターン）
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
