和集合・共通部分・補集合

上野竜生です。今回は集合の和集合と共通部分・補集合について紹介します。

和集合・共通部分

記号の形から連想して覚えましょう。∪はコップの形をしているのでカップとよみ，たくさん入りそうなのでA∪BはAかBのどちらかにでも属する要素すべての集合と覚えます。
∩は帽子の形をしているのでキャップとよみ，全然入らなさそうなのでA∩BはA,Bの両方に属するような特殊な要素しかもたない集合と覚えます。
たとえばA={1,2} , B={2,3}ならA∪B={1,2,3} , A∩B={2} となります。

補集合

なお補集合の補集合はもとの集合に戻ります。
定義から明らかに\( A \cap \bar{A}= \phi , A \cup \bar{A} =U \)が成り立ちます。
また\( A \subset B \)と\( \bar{A} \supset \bar{B} \)は同値です。

ベン図

これらの関係を式で書くよりも図でかいたほうがわかりやすいので図でかきます。
一般に集合AとBが与えられれば下の図をかけばすべての場合が示せます。
このときA∪B, A∩B, \(\overline{(A)} \)は下の図の部分となります。

ド・モルガンの法則

次が成り立ちます。
\( \overline{A \cup B}= \bar{A} \cap \bar{B} \)
\( \overline{A \cap B}= \bar{A} \cup \bar{B} \)
∪と∩が入れ替わってることに注意しましょう。証明はベン図を見てください。

なお、3種類の場合でもドモルガンの法則は成り立ちます。
\(\overline{A \cup B \cup C} = \bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \)
\(\overline{A \cap B \cap C} = \bar{A} \cup \bar{B} \cup \bar{C} \)

このように3個の集合になってもベン図は役立ちます。

4個以上になるとベン図が非常に不便です。
（円2つ書けば4つの部分に分割、円3つで8つの部分に分割できるが円4つでは16個の部分に分割できないため[最大で14個しかできない]）

集合の要素が具体的に与えられて和集合や共通部分などを求める問題が出たらベン図で解くことを第一に考えてくださいね！

例題１

例題２

例題３

答え
\(\bar{B}=\){x| x≦-1またはx≧3}なので
\( A \cup \bar{B}=\) {x| x≦-1 またはx＞0}

数直線で考えるのがわかりやすいでしょう。