上野竜生です。集合と命題の基本を学びましょう。
集合のかきかた
集合A={n|nは0以上10以下の偶数}とかけばA={0,2,4,6,8,10}です。このように集合は{}の中に当てはまる要素をすべて書く書き方と，{|}の|の左側に変数，右側に変数が満たす条件をかく方法があります。
要素
A={1,2,3}とします。Aの中に入っているものをAの要素といいます。1はAの要素ですが，4はAの要素ではありません。これを数学で以下のように表現します。
・\( 1 \in A \)
・\( 4 \notin A \)
ちなみにAを左辺にもってくると記号は左右反転します。つまり，
・\( A\ni 1 \)
などと書きます。
要素をもたない集合を空集合(くうしゅうごう)といい\(\phi \)の記号（正確には
○に／の記号）であらわす。つまり\(\phi=\{\} \)のことです。
部分集合
Aの要素がすべてBの要素に含まれるとき，AはBの部分集合と言います。
A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}ならAはBの部分集合です。これを\( A \subset B \)と書きます。
なお，A={1,2,3,4,5,6,7,101},B={1,2,3,4,・・・,100}のときほとんど部分集合に近いですが101がBの要素ではないためAはBの部分集合ではありません。これを\( A \not \subset B \)と書きます。
特に\( A \subset A , \phi \subset A \)となります。
たとえばA={a,b,c}の部分集合は{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} の8個あります。各要素について含む含まないの選び方が2通りあり，要素の数だけ2通りを選び続けるので一般にAの部分集合の個数は「2の(Aの要素の数)乗」に等しいです。
これもBを左辺にすると記号の左右が反転します。つまり\( A \subset B \)は\( B \supset A\)ともかけます。
(i) \( 2 \in \{1,2,3\} \)
(ii) \( \{2\} \in \{1,2,3\} \)
(iii) \( 2 \subset \{1,2,3\} \)
(iv) \( \{2\} \subset \{1,2,3\} \)
(ii) {2}という集合はAの要素ではありませんので×です。
\( \{2\} \in \{ \{1\} , \{2\} , \{3\} \} \)の場合右辺は{1}という集合，{2}という集合，{3}という集合を要素とする集合なので{2}は右辺の要素であり○になります。
ややこしくなるので高校範囲ではこういうのは考えなくても良いです。
(iv)左辺に含まれるすべての要素（今回は2のみ）は右辺の要素になっています。なので部分集合です。○
このような記号の使い分けが共通テストではよく問われます。（それ以降高校ではあまり意識することはないですが・・・）
命題
命題とは真（あってる）か偽（まちがってる）かハッキリいえるものです。
＜命題の例＞
- 100は99より大きい
- 100は101より大きい（まちがってるとハッキリいえます）
- 正三角形は1つの内角が60°である ・・・など
＜命題ではない例＞
- 100は大きい（大きいという人もいれば小さいという人もいます）
- 5000兆円は大金である。
- 犬は可愛い など・・・
真偽
命題が常に正しいとき真，間違ってるとき偽といいます。正しいときも正しくないときもあれば偽です。とにかく間違ってる例が1つでもあれば偽です。
「AならばB」の真偽はAが偽またはBが真のとき真といいます。
(i) 5は整数である。
(ii) x>1ならばx>2である。
(iii) x=x+1ならば1+1=9である。
(iv) a>0ならば\( x^2=a \)を満たす実数xが存在する。
(ii) x=3など大きい数を考えると正しそうに見えますがx=1.1などを考えるとx>1は満たすのにx>2を満たさない場合があります。よって偽。
Aが成り立たなければBが成り立つかに関係なく「AならばB」は真になります。
(iv) \( x=\sqrt{a} \)が条件を満たすので真です。
「かつ」「または」「すべての」「ある・・・」
「AかつB」とはAもBも両方真のときのみ真，それ以外は偽となります。
「AまたはB」はA,Bの少なくとも一方真のとき真，それ以外は偽となります。
たとえば「5>3 または 4>3」は真です。
「すべての」は文字通りです。
たとえば「すべての実数aに対しax=1となるxが存在する」は偽です。
（a=0なら存在しないため）
「ある・・・」は1つでも条件を満たせば真です。
たとえば「ある実数aに対しax=1となるxが存在する」は真です。
(a=1など条件を満たすaがあるので）
否定
ちょうど真偽が入れ替わるものです。基本的には「Aである」の否定は「Aではない」になります。
例：「x>5である」の否定は「x>5ではない」
ですが，このままでは今後数学が大変になる（Aである場合だけを考えるのは楽でもAではない場合すべてを考えるのはすごく大変ですよね・・・）ので少し言葉の言いかえをします。この場合「x>5ではない」ということは「x≦5である」ということですね。
注意すべき言いかえ
・x>aの否定は「x≦a」
・AかつBの否定は「Aでない または Bでない」
・AまたはBの否定は「Aでない かつ Bでない」
・「すべてのxに対しA」の否定は「あるxに対しAではない」（Aでないxが存在する）
・「あるxに対しＡ」の否定は「すべてのxに対し，Aではない」（どんなxをとってもAを満たすことはあり得ない）
・AならばBの否定は「AであるがBではない」 になります。
逆裏対偶
・AならばBの逆命題とは「BならばA」のことです。
・AならばBの裏命題とは「Aでない ならば Bでない」です。
・AならばBの対偶命題とは「Bでない ならば Aでない」です。
元の命題と対偶命題は真偽が一致します。
逆命題と裏命題は対偶の関係にあるのでやはり真偽が一致します。
センター数学以外で「裏命題」が出ることはまずないといってもいいでしょう。ほとんど対偶のみ，ごくまれに逆がでる程度です。
必要十分条件
BならばAが成り立つときAはBであるための必要条件
AならばBが成り立つときAはBであるための十分条件
AならばB，BならばAの両方が成り立つときAはBであるための必要十分条件といいます。（AとBは同値ともいいます）
例題
\( n \)を3で割った余りが2であることは\( n^2 \)を3で割った余りが2であるための（ ）
①必要十分条件 ②必要条件だが十分でない ③十分条件だが必要でない ④どちらでもない
このタイプの問題は「AならばB」と「BならばA」の真偽を判定することです。
答え
「AならばB」：nを3で割った余りが2ならば\( n^2\)を3で割った余りが２
明らかに偽です。(反例：n=2)
「BならばA」：\(n^2\)を3で割った余りが2ならばnを3で割った余りが２
判定しにくいです。このようなときは「元の命題と対偶命題の真偽が一致する」ことを利用します。この対偶命題を考えましょう。対偶命題は「Bでない ならば Aでない」なので
「nを3で割った余りが2でない ならば \(n^2\)を3で割った余りが2でない」つまり，
「nを3で割った余りが0,1ならば \( n^2\)を3で割った余りは0,1」
これを確かめればOKです。nを3で割った余りが0なら明らかに\( n^2\)も3で割った余りが0です。
nを3で割った余りが1ならn=3k+1（kは整数)とかけます。
\( n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1\)となるので\( n^2\)を3で割った余りは1です。
よって対偶命題は真です。対偶が真だから元の命題も真です。
以上よりBならばAのみ成立なので必要条件であり，答えは②です。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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