等差数列

上野竜生です。今回は等差数列について紹介します。そもそも数列というものを定義してませんのでここで定義することにします。

数列とは？

a₁,a₂,・・・,a_nを数としたときの列a₁,a₂,・・・,a_nを数列といい，{a_n}で表します。
それぞれの値a₁,a₂,・・・を項といい、a_nを第n項,特にa₁を初項といいます。
一般のnに対してa_nを求めることを一般項を求めるといいます。
項の個数が有限の数列は有限数列とよぶ。このとき「最後の項」が存在する。この「最後の項」のことを末項とよぶ。
項の個数が無限の数列は無限数列とよぶ。このとき末項は存在しない。

等差数列とは？

差が等しい数列のこと。正確にはa_n+1-a_nがnによらず一定の値dになる数列のこと。このときの差dを公差とよぶ。

等差数列は初項a₁と公差dがわかれば一般項は容易に求まる。
a_n=a₁+(n-1)d
a_n=a₁+ndと間違えないように注意！n=1のとき両辺が一致するか確認すれば明らかですね。

等差数列の和

初項をa，公差dで項数nの数列{a_n}の和S_nを求めたい

上のように初項から順番に足したものと，末項から順番に足したものを並べて書くとその和はきれいにかけ算の形で書ける。この図から
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d) \)

特に項数がnだから末項はa_n=a+(n-1)dと書けることを利用すると等差数列の和は
（初項＋末項）×項数÷2
で計算できる。
たとえば10から20までの整数の和を計算するなら初項10,末項20,項数11（公差は1）の等差数列の和だから
(10+20)×11÷2=165
と計算できる。

例題１

等差数列は余りと密接な関係あり！

等差数列はa_n=a₁+(n-1)dであるからa₁,dが整数のときa_nをdで割った余りはnの値によらずa₁をdで割った余りに等しい。つまり
等差数列とは「余りが一定」と解釈できる。
たとえば7で割った余りが3になる自然数を小さい順に並べると
3,10,17,24,・・・でこれは初項が3,公差が7の等差数列と同じである。
これを用いた応用問題も作れる。

例題２

等差数列と等差数列の共通項をとる問題は少ないですが次の「等比数列」と等差数列の共通項をとる問題はたまに見かけます。余りに着目するということを覚えておきましょう。