指数関数・対数関数のグラフ

上野竜生です。指数関数のグラフと対数関数のグラフ，それらの性質について紹介します。二次試験でこれらの基本が問われることはほぼないですが共通テストで問われることがあります。

y=a^xのグラフ

a>1のときは左の赤いグラフ
0<a<1のときは右の紫のグラフになります。
a⁰=1なので必ず(0,1)を通ります。
a>1のときは単調増加。0<a<1のときは単調減少で、特にa>1のとき\(0<\frac{1}{a}<1\)となりますが\(y=a^x\)のグラフと\(y=(\frac{1}{a})^x\)のグラフはy軸対称となります。
またx軸が漸近線となっています。

y=log_axのグラフ

a>1のときは左の青いグラフ
0<a<1のときは右の緑のグラフになります。
log_a1=0なので必ず(1,0)を通ります。
a>1のときは単調増加。0<a<1のときは単調減少で、特にa>1のとき\(0<\frac{1}{a}<1\)となりますが\(y=\log_{a}{x}\)のグラフと\(y=\log_{\frac{1}{a}}{x}\)のグラフはx軸対称となります。
またy軸が漸近線となっています。

すべてのグラフを重ねると・・・

4つのグラフは
赤・・・y=a^x（a>1。この図ではa=2）
紫・・・y=a^x（0<a<1。この図では\(a=\frac{1}{2}\)）
青・・・y=log_ax（a>1。この図ではa=2）
緑・・・y=log_ax（0<a<1。この図では\(a=\frac{1}{2}\)）
そしてグレーはy=xのグラフです。
赤と紫はy軸対称
青と緑はx軸対称ですが
赤と青はy=xについて対称となっています。
つまりy=a^xとy=log_axはy=xについて対称となっています。
よって紫と緑もy=xについて対称です。
この関係が共通テストで問われることもあるので知っておきましょう。