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上野竜生です。今回は正n角形の面積と周の長さを求めます。半径1の円に内接するほうが楽ですが，ついでに一辺が1の正n角形の面積も考えます。もちろん一辺が1の正n角形の周りの長さはnであることはいうまでもありません。
問題
(1)半径1の円に内接する正n角形の周囲の長さと面積を求めよ。
(2)1辺が1の正n角形の面積を求めよ。
(2)1辺が1の正n角形の面積を求めよ。
答え
(1)図より
\( \displaystyle ∠AOB=\frac{360}{n}° , ∠AOC=\frac{180}{n}°\)
よって\(\displaystyle AC=\sin{\frac{180}{n}°},AB=2\sin{\frac{180}{n}°}\)
となるから周囲の長さは\(\displaystyle 2n\sin{\frac{180}{n}°}\)
\(\displaystyle △AOB=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin{\frac{360}{n}°}=\frac{1}{2}\sin{\frac{360}{n}°}\)
よって正n角形の面積は\(\displaystyle \frac{1}{2}n\sin{\frac{360}{n}°}\)
(2)同様にすると半径がaの円に内接する正n角形の1辺の長さは
\(\displaystyle 2a\sin{\frac{180}{n}°} =1\)
つまり\(\displaystyle a=\frac{1}{2\sin{\frac{180}{n} °}}\)
半径aの円に内接する正n角形の面積は
\(\displaystyle \frac{a^2}{2}n\sin{\frac{360}{n}°} = \frac{n\sin{\frac{360}{n}°}}{8\sin^2{\frac{180}{n}°}}\)
(1)図より
\( \displaystyle ∠AOB=\frac{360}{n}° , ∠AOC=\frac{180}{n}°\)
よって\(\displaystyle AC=\sin{\frac{180}{n}°},AB=2\sin{\frac{180}{n}°}\)
となるから周囲の長さは\(\displaystyle 2n\sin{\frac{180}{n}°}\)
\(\displaystyle △AOB=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin{\frac{360}{n}°}=\frac{1}{2}\sin{\frac{360}{n}°}\)
よって正n角形の面積は\(\displaystyle \frac{1}{2}n\sin{\frac{360}{n}°}\)
(2)同様にすると半径がaの円に内接する正n角形の1辺の長さは
\(\displaystyle 2a\sin{\frac{180}{n}°} =1\)
つまり\(\displaystyle a=\frac{1}{2\sin{\frac{180}{n} °}}\)
半径aの円に内接する正n角形の面積は
\(\displaystyle \frac{a^2}{2}n\sin{\frac{360}{n}°} = \frac{n\sin{\frac{360}{n}°}}{8\sin^2{\frac{180}{n}°}}\)
正n角形の問題はn個の三角形に分割すればただの三角比で解けるということは知っておきましょう。(1)は今後数IIIの「極限」を学習したときに再度出題されると思います。（n→∞にすると正n角形は半径1の円に近づくはずなので面積はπに近づくはず。これを計算させる練習問題が数IIIで頻出です）
極限の計算練習をした後にこの問題を見ると，立式まではただの三角比で解けるということを忘れがちなので注意しましょう。
もし(2)がいきなり出たとしても自分で(1)から考えるほうが楽かもしれません。外接円の半径を求めるところからはじめ，それを用いて分割した三角形の面積を求めます。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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