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上野竜生です。今回は隣接3項間漸化式の解法について紹介します。これは単独でもよく出ますし，何かの問題を解いてこのタイプに帰着されることも多く，かなりの頻度で使います。
一般的な解法
an+2=pan+1+qanのタイプを隣接3項間漸化式といい，このときはan+2にα2,an+1にα1(=α),anにα0(=1)を代入して得られる特性方程式
α2=pα+qを解く。
この2つの解をs,tとおく。
漸化式の両辺からsan+1をひくと等比数列型の漸化式が得られます。また同様に
漸化式の両辺からtan+1をひくと等比数列型の漸化式が得られます。
このようにして得られる2つの式を引き算すると求められます。一般的に話しても何のことかわからないと思うので具体的には例題(1)で見てみましょう。
なお，特性方程式が異なる解（実数解でも虚数解でもよい）をもつときはこれで解けるのですが重解のときは１つしか漸化式が得られないのでそのあとは別の型に帰着します（→例題(3)参照）
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例題
(1)a1=2 , a2=10 , an+2=5an+1 －6an
(2)a1=1 , a2=1 , an+2=an+1+an
(3)a1=2 , a2=6 , an+2=4an+1－4an
(4)a1=2 , a2=10 , an+2=5an+1－6an+2n
(2)a1=1 , a2=1 , an+2=an+1+an
(3)a1=2 , a2=6 , an+2=4an+1－4an
(4)a1=2 , a2=10 , an+2=5an+1－6an+2n
(1)特性方程式を解きましょう。
\(\alpha^2=5\alpha-6 \)
\( (\alpha-2)(\alpha-3)=0 \)
\( \alpha=2,3 \)
\(\alpha^2=5\alpha-6 \)
\( (\alpha-2)(\alpha-3)=0 \)
\( \alpha=2,3 \)
答え両辺から\(2a_{n+1} \)をひくと
\( a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n) \)
\( \{a_{n+1}-2a_n \} \)は初項\(a_2-2a_1=6 \),公比3の等比数列だから
\(a_{n+1}-2a_n=6\cdot 3^{n-1}=2\cdot 3^n \)・・・①
両辺から\(3a_{n+1} \)をひくと
\( a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n) \)
\( \{a_{n+1}-3a_n \} \)は初項\(a_2-3a_1=4 \),公比2の等比数列だから
\(a_{n+1}-3a_n=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1} \)・・・②
①－②より
\(a_n= 2\cdot 3^n - 2^{n+1} \)
\( a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n) \)
\( \{a_{n+1}-2a_n \} \)は初項\(a_2-2a_1=6 \),公比3の等比数列だから
\(a_{n+1}-2a_n=6\cdot 3^{n-1}=2\cdot 3^n \)・・・①
両辺から\(3a_{n+1} \)をひくと
\( a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n) \)
\( \{a_{n+1}-3a_n \} \)は初項\(a_2-3a_1=4 \),公比2の等比数列だから
\(a_{n+1}-3a_n=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1} \)・・・②
①－②より
\(a_n= 2\cdot 3^n - 2^{n+1} \)
(2)【再掲】a1=1 , a2=1 , an+2=an+1+an
(2)特性方程式を解く。
\(\alpha^2=\alpha+1 \)をとくと\(\alpha=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
解が汚くてもやることは一緒です。
答え両辺から\( \frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n+1} \)を引くと
\(\displaystyle a_{n+2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n+1}= \frac{1-\sqrt{5}}{2}(a_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_n) \)
\(\displaystyle \{ a_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_n \} \)は初項\(\displaystyle a_2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \),公比\(\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2} \)の等比数列だから
\(\displaystyle a_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_n= (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \)・・・③
両辺から\( \frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n+1} \)を引くと
\(\displaystyle a_{n+2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n+1}= \frac{1+\sqrt{5}}{2}(a_{n+1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_n) \)
\(\displaystyle \{ a_{n+1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2} a_n\} \)は初項\(\displaystyle a_2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \),公比\(\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)の等比数列だから
\(\displaystyle a_{n+1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_n= (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n \)・・・④
③ー④より
\(\displaystyle -\sqrt{5}a_n= (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n- (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n \)
∴\(\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \{ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \}\)
\(\displaystyle a_{n+2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n+1}= \frac{1-\sqrt{5}}{2}(a_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_n) \)
\(\displaystyle \{ a_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_n \} \)は初項\(\displaystyle a_2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \),公比\(\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2} \)の等比数列だから
\(\displaystyle a_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_n= (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \)・・・③
両辺から\( \frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n+1} \)を引くと
\(\displaystyle a_{n+2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n+1}= \frac{1+\sqrt{5}}{2}(a_{n+1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_n) \)
\(\displaystyle \{ a_{n+1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2} a_n\} \)は初項\(\displaystyle a_2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \),公比\(\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)の等比数列だから
\(\displaystyle a_{n+1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_n= (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n \)・・・④
③ー④より
\(\displaystyle -\sqrt{5}a_n= (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n- (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n \)
∴\(\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \{ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \}\)
(3)【再掲】a1=2 , a2=6 , an+2=4an+1－4an
(3)特性方程式を解く
\(\alpha^2=4\alpha-4 \)を解くと\(\alpha=2 \)
答え両辺から\(2a_{n+1}\)を引くと
\(a_{n+2}-2a_{n+1}=2(a_{n+1}-2a_n) \)
\( \{ a_{n+1}-2a_n \} \)は初項2,公比2の等比数列だから
\( a_{n+1}-2a_n=2^n \)
両辺を\(2^{n+1}\)で割ると
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^n} \)とおくと\(b_1=1 \),
\(b_{n+1}=b_n+\frac{1}{2} \)
よって\(b_n=\frac{n+1}{2} \)
\(a_n=2^n b_n=(n+1)2^{n-1} \)
\(a_{n+2}-2a_{n+1}=2(a_{n+1}-2a_n) \)
\( \{ a_{n+1}-2a_n \} \)は初項2,公比2の等比数列だから
\( a_{n+1}-2a_n=2^n \)
両辺を\(2^{n+1}\)で割ると
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^n} \)とおくと\(b_1=1 \),
\(b_{n+1}=b_n+\frac{1}{2} \)
よって\(b_n=\frac{n+1}{2} \)
\(a_n=2^n b_n=(n+1)2^{n-1} \)
(4)【再掲】a1=2 , a2=10 , an+2=5an+1－6an+2n
答え(4)【解１】 正攻法
１つずらすと
\( a_{n+3}=5a_{n+2}-6a_{n+1}+2n+2 \)
\( a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n +2n \)
\(b_n=a_{n+1}-a_n \)とおき，辺々引くと
\( b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n +2 \)
\(a_3=40,a_4=144\)なので\(b_1=8,b_2=30,b_3=104\)
もう1度繰り返す。１つずらした式から元の式を引くと
\( b_{n+3}=5b_{n+2}-6b_{n+1}+2 \)
\( b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n +2 \)
\(c_n=b_{n+1}-b_n \)とおくと
\( c_{n+2}=5c_{n+1}-6c_n \)
\(c_1=22,c_2=74\)より(1)と同様に解くと
\( c_n=10\cdot 3^n-4\cdot 2^{n} \)
\(b_{n+1}=b_n+(10\cdot 3^n-4\cdot 2^{n}) \)
なのでn≧2のとき
\(\displaystyle b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1} (10\cdot 3^k-4\cdot 2^{k}) \\ \displaystyle = 8+10\cdot \frac{3^n-3}{2}-4(2^{n}-2) \\ =5\cdot 3^n-4\cdot 2^{n}+1 \)
これはn=1のときも成立。
よって\(a_{n+1}=a_n+(5\cdot 3^n-4\cdot 2^{n}+1) \)
n≧2のとき
\(\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} (5\cdot 3^k-4\cdot 2^{k}+1) \\ \displaystyle =2+5\cdot \frac{3^n-3}{2}-4(2^{n}-2)+(n-1) \\ = \displaystyle \frac{5\cdot 3^n}{2}-4\cdot 2^{n}+n+\frac{3}{2} \)
n=1のときも成立。
【解２】 微調整する
(1)と同様にして特性方程式の解は2,3だから
\( a_{n+2}-2a_{n+1}+f(n+1)=3(a_{n+1}-2a_n+f(n)) \)
となるようなf(n)を見つければ等比数列の形に持ちこめる。
２つの式を比較すると
\( 3f(n)-f(n+1)=2n\)となるようなf(n)を見つければよい。
f(n)=an+bとおくと
\( 3an+3b-an-a-b=2an+(2b-a)=2n \)より\(a=1,b=\frac12 \)
よって\(f(n)=n+\frac{1}{2} \)とすればよい。
同様に\( a_{n+2}-3a_{n+1}+g(n+1)=2(a_{n+1}-3a_n+g(n)) \)
となるようなg(n)を見つければ等比数列の形に持ちこめる。
２つの式を比較すると
\( 2g(n)-g(n+1)=2n\)となるようなg(n)を見つければよい。
g(n)=an+bとおくと
\( 2an+2b-an-a-b=an+(b-a)=2n \)より\(a=2,b=2 \)
よって\(g(n)=2n+2 \)とすればよい。
\( a_{n+2}-2a_{n+1}+(n+1)+\frac12=3(a_{n+1}-2a_n+n+\frac12) \)
\( a_{n+1}-2a_n+n+\frac12 \)は初項\(a_2-2a_1+1+\frac12=\frac{15}{2} \),公比3の等比数列だから
\(a_{n+1}-2a_n +n+\frac12 = \frac{15}{2}\cdot 3^{n-1}=\frac{5\cdot 3^n}{2}\)・・・(*)
同様に
\( a_{n+2}-3a_{n+1}+2(n+1)+2=2(a_{n+1}-3a_{n}+2n+2) \)より
\( a_{n+1}-3a_n+2n+2= 8\cdot 2^{n-1}=2^{n+2} \)・・・(**)
(*)ー(**)より
\( a_n-n-\frac{3}{2}=\frac{5\cdot 3^n}{2}-2^{n+2} \)
∴\(\displaystyle a_n=\frac{5\cdot 3^n}{2}-2^{n+2}+n+\frac{3}{2} \)
１つずらすと
\( a_{n+3}=5a_{n+2}-6a_{n+1}+2n+2 \)
\( a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n +2n \)
\(b_n=a_{n+1}-a_n \)とおき，辺々引くと
\( b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n +2 \)
\(a_3=40,a_4=144\)なので\(b_1=8,b_2=30,b_3=104\)
もう1度繰り返す。１つずらした式から元の式を引くと
\( b_{n+3}=5b_{n+2}-6b_{n+1}+2 \)
\( b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n +2 \)
\(c_n=b_{n+1}-b_n \)とおくと
\( c_{n+2}=5c_{n+1}-6c_n \)
\(c_1=22,c_2=74\)より(1)と同様に解くと
\( c_n=10\cdot 3^n-4\cdot 2^{n} \)
\(b_{n+1}=b_n+(10\cdot 3^n-4\cdot 2^{n}) \)
なのでn≧2のとき
\(\displaystyle b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1} (10\cdot 3^k-4\cdot 2^{k}) \\ \displaystyle = 8+10\cdot \frac{3^n-3}{2}-4(2^{n}-2) \\ =5\cdot 3^n-4\cdot 2^{n}+1 \)
これはn=1のときも成立。
よって\(a_{n+1}=a_n+(5\cdot 3^n-4\cdot 2^{n}+1) \)
n≧2のとき
\(\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} (5\cdot 3^k-4\cdot 2^{k}+1) \\ \displaystyle =2+5\cdot \frac{3^n-3}{2}-4(2^{n}-2)+(n-1) \\ = \displaystyle \frac{5\cdot 3^n}{2}-4\cdot 2^{n}+n+\frac{3}{2} \)
n=1のときも成立。
【解２】 微調整する
(1)と同様にして特性方程式の解は2,3だから
\( a_{n+2}-2a_{n+1}+f(n+1)=3(a_{n+1}-2a_n+f(n)) \)
となるようなf(n)を見つければ等比数列の形に持ちこめる。
２つの式を比較すると
\( 3f(n)-f(n+1)=2n\)となるようなf(n)を見つければよい。
f(n)=an+bとおくと
\( 3an+3b-an-a-b=2an+(2b-a)=2n \)より\(a=1,b=\frac12 \)
よって\(f(n)=n+\frac{1}{2} \)とすればよい。
同様に\( a_{n+2}-3a_{n+1}+g(n+1)=2(a_{n+1}-3a_n+g(n)) \)
となるようなg(n)を見つければ等比数列の形に持ちこめる。
２つの式を比較すると
\( 2g(n)-g(n+1)=2n\)となるようなg(n)を見つければよい。
g(n)=an+bとおくと
\( 2an+2b-an-a-b=an+(b-a)=2n \)より\(a=2,b=2 \)
よって\(g(n)=2n+2 \)とすればよい。
\( a_{n+2}-2a_{n+1}+(n+1)+\frac12=3(a_{n+1}-2a_n+n+\frac12) \)
\( a_{n+1}-2a_n+n+\frac12 \)は初項\(a_2-2a_1+1+\frac12=\frac{15}{2} \),公比3の等比数列だから
\(a_{n+1}-2a_n +n+\frac12 = \frac{15}{2}\cdot 3^{n-1}=\frac{5\cdot 3^n}{2}\)・・・(*)
同様に
\( a_{n+2}-3a_{n+1}+2(n+1)+2=2(a_{n+1}-3a_{n}+2n+2) \)より
\( a_{n+1}-3a_n+2n+2= 8\cdot 2^{n-1}=2^{n+2} \)・・・(**)
(*)ー(**)より
\( a_n-n-\frac{3}{2}=\frac{5\cdot 3^n}{2}-2^{n+2} \)
∴\(\displaystyle a_n=\frac{5\cdot 3^n}{2}-2^{n+2}+n+\frac{3}{2} \)
ここまで見て気づいた方もいるかもしれませんが特性方程式の解がs,tなら漸化式の一般項は
an=○sn+△tnの形になります。また重解sをもつときは○の部分が1次式になって
an=○snの形になります。記述式でなく答えを出すだけなら一気にここまでワープすると計算量が減ります。また，すぐできる検算なので覚えておくとよいでしょう。
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