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上野竜生です。今回は2定点を見込む角度の最大を求めるレギオモンタヌスの問題を紹介します。「絵がよく見える場所」や「サッカーのキックを決めるのに最適な場所」などの日常のシチュエーションと絡めて出題されることもあります。
問題
O(0,0),A(0,a),B(0,b),P(x,0) (b>a>0,x>0)とする。a,bを固定してxを動かすとき∠APBが最大となるようなxの値を求めよ。
この問題は「レギオモンタヌスの問題」と呼ばれていて有名問題です。中堅大学でよく見かけます。過去には(1)tanを利用して解け。(2)同じ問題を円周角の定理を用いて解け。というように2通りの解き方で同じ問題を解かせる問題も出題されています。tanと円周角の定理両方の解法が思いつくか試してみましょう。
tanを利用した場合
答え∠OPA=α,∠OPB=βとすると\(\displaystyle \tan{\alpha}=\frac{a}{x} , \tan{\beta}=\frac{b}{x} \)
\( \tan{∠APB}=\tan{(\beta-\alpha)}\\ = \displaystyle \frac{\tan{\beta}-\tan{\alpha}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}} = \frac{\frac{b}{x}-\frac{a}{x}}{1+\frac{ab}{x^2}}= \frac{(b-a)x}{x^2+ab} \)
0°<∠APB<90°だから∠APBが最大となるのはtan∠APBが最大になるとき。
つまり\(\displaystyle \frac{(b-a)x}{x^2+ab}= \frac{b-a}{x+\frac{ab}{x}} \)が最大になるとき。
\( x>0 , \frac{ab}{x}>0 \)だから相加相乗平均の関係より
\( \displaystyle x+\frac{ab}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{ab}{x}} = 2\sqrt{ab} \)・・・①
等号成立は\( x=\frac{ab}{x} \)のとき，つまり\( x=\sqrt{ab} \)のとき。（∵x>0）
①より
\(\displaystyle \tan{∠APB}=\frac{b-a}{x+\frac{ab}{x}} \leq \frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\)
となるので\( x=\sqrt{ab} \)のとき最大となる。
\( \tan{∠APB}=\tan{(\beta-\alpha)}\\ = \displaystyle \frac{\tan{\beta}-\tan{\alpha}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}} = \frac{\frac{b}{x}-\frac{a}{x}}{1+\frac{ab}{x^2}}= \frac{(b-a)x}{x^2+ab} \)
0°<∠APB<90°だから∠APBが最大となるのはtan∠APBが最大になるとき。
つまり\(\displaystyle \frac{(b-a)x}{x^2+ab}= \frac{b-a}{x+\frac{ab}{x}} \)が最大になるとき。
\( x>0 , \frac{ab}{x}>0 \)だから相加相乗平均の関係より
\( \displaystyle x+\frac{ab}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{ab}{x}} = 2\sqrt{ab} \)・・・①
等号成立は\( x=\frac{ab}{x} \)のとき，つまり\( x=\sqrt{ab} \)のとき。（∵x>0）
①より
\(\displaystyle \tan{∠APB}=\frac{b-a}{x+\frac{ab}{x}} \leq \frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\)
となるので\( x=\sqrt{ab} \)のとき最大となる。
円周角の定理を用いた場合
答えA,Bを通りx軸に接する円Cを書き，x軸との接点をTとする。
また，半直線OT上のT以外の点をSとする。
BSと円Cの交点をDとする。
円周角の定理より
∠ATB=∠ADB
ここで∠ADB=∠ASD+∠SAD＞∠ASDであるから
∠ATB＞∠ASB
よってTが角度最大の場所である。
ここからはひらめきによって2通りの求め方がある。
＜解１＞三平方の定理を用いる方法
ABの中点をM,外接円の中心をCとするとCA=CT=(Mのy座標)=\(\frac{a+b}{2}\)
AM=\( \frac{b-a}{2} \)
CMが求めるxの値なので三平方の定理より
\(\displaystyle x=\sqrt{(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{b-a}{2})^2}=\sqrt{ab} \)
＜解２＞方べきの定理を用いる方法
x軸は接線であるからOを基準に方べきの定理を使うと
OA・OB=OT2
\( x^2=ab \)
x>0より\( x=\sqrt{ab} \)
また，半直線OT上のT以外の点をSとする。
BSと円Cの交点をDとする。
円周角の定理より
∠ATB=∠ADB
ここで∠ADB=∠ASD+∠SAD＞∠ASDであるから
∠ATB＞∠ASB
よってTが角度最大の場所である。
ここからはひらめきによって2通りの求め方がある。
＜解１＞三平方の定理を用いる方法
ABの中点をM,外接円の中心をCとするとCA=CT=(Mのy座標)=\(\frac{a+b}{2}\)
AM=\( \frac{b-a}{2} \)
CMが求めるxの値なので三平方の定理より
\(\displaystyle x=\sqrt{(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{b-a}{2})^2}=\sqrt{ab} \)
＜解２＞方べきの定理を用いる方法
x軸は接線であるからOを基準に方べきの定理を使うと
OA・OB=OT2
\( x^2=ab \)
x>0より\( x=\sqrt{ab} \)
tanのほうがひらめきが少ないので慣れればこちらのほうが簡単に感じるでしょう。円周角の定理を用いるほうは計算量は少ないかもしれませんが限られた時間でひらめくかは難しいです。しかしこちらの解法を要求するような誘導も多いので一度両方の解き方を理解しておきましょう。
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