上野竜生です。チェバ・メネラウスの定理は便利なうえに簡単なのですぐに終わります。サクっと終わらせましょう。
今回使う図はこちら
三角形ABCの辺AB上に点Pを，BC上にQを，CA上にRをとるとAQ,BR,CPは1点Mで交わった図です。
チェバの定理
この図で次の関係式がなりたつ
実際に辺をたどっていきましょう。これは比較的覚えやすいと思います。
チェバの定理は逆も成り立ちます。つまり
チェバの定理の逆
\(\displaystyle \frac{PB}{AP} \cdot \frac{QC}{BQ} \cdot \frac{RA}{CR}=1\)
がなりたつならばAQ,BR,CPは1点Mで交わる。
出題頻度はそれほど高くないです。
メネラウスの定理
辺ACは使わないのでそこは見なくても構いません
\( \displaystyle \frac{QC}{BQ}\cdot \frac{MP}{CM}\cdot \frac{AB}{PA}=1\)
分数を「(分母)分の(分子)」の順に読んでいくと一筆書きできるように書いていますので図と見比べて覚えていきましょう。少し変な形ですがこれはキツネの顔をイメージすることが大切です。キツネの顔を見つけて辺の比が欲しいときはメネラウスの定理を使うことを考えましょう。
なお，メネラウスの定理も逆が成り立ちます。つまり，
メネラウスの定理の逆
\( \displaystyle \frac{QC}{BQ}\cdot \frac{MP}{CM}\cdot \frac{AB}{PA}=1\)
が成り立つならばP,M,Cは同一直線上にある
こちらも滅多に使いません。
なぜ「チェバ・メネラウスの定理の逆」は使用頻度が低いか？
基本的にベクトルを使えばこれらの定理を使うことはほとんどありません。そしてベクトルを使わない平面図形の問題といえば共通テスト数IAぐらいしかありません。共通テストは数値を埋める形式であり，証明問題が出ていませんので「同一直線上にある」「１点で交わる」という結論の定理は証明問題でしかほぼ使えず使用頻度が低くなるのです。出題されてもベクトルで対処してしまえば減点されることはありません。
滅多に出ないとはいえ出題範囲であることは間違いないのでなんとなくでも覚えておきましょう。重点的にやる必要はないでしょう。
例題
次の比を求めよ。
(1)AG:GD (2) AF:FB (3) FG:GC
\(\displaystyle \frac{EA}{CE} \cdot \frac{GD}{AG} \cdot \frac{BC}{DB} =1 \)
つまり
\(\displaystyle \frac{4}{3} \cdot \frac{GD}{AG} \cdot \frac{3}{1} =1 \)
だからAG:GD=4:1
(2)チェバの定理より
\(\displaystyle \frac{DC}{BD} \cdot \frac{EA}{CE} \cdot \frac{FB}{AF} =1 \)
つまり
\(\displaystyle \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{FB}{AF} =1 \)
だからAF:FB=8:3
(3)メネラウスの定理より
\(\displaystyle \frac{DC}{BD} \cdot \frac{GF}{CG} \cdot \frac{AB}{FA} =1 \)
つまり
\(\displaystyle \frac{2}{1} \cdot \frac{GF}{CG} \cdot \frac{11}{8} =1 \)
だからFG:GC=4:11
チェバの定理を用いた面白い問題
僕も初見では解けなかったですが面白い問題なので紹介します。
入試で作図する手順を答える問題はほぼ出ないと思うので先に作図の手順は紹介します。問題はこの方法で得られたMが必ずBCを2等分することを証明することです。このレベルならあり得るので考えてみましょう。
＜手順＞
1. 半直線CD上に点Pをとる。（Pは線分CDの外にある）
2. PBを結びADとの交点をQとする。
3. QCとBDの交点をRとする。
4. PRとBCの交点をMとする。
PQ:QB=PD:DC
よって\( \displaystyle \frac{DP}{CD} \cdot \frac{QB}{PQ}=1 \)
チェバの定理より
\( \displaystyle \frac{DP}{CD}\cdot \frac{QB}{PQ}\cdot \frac{MC}{BM}=1\)だから
\( \displaystyle \frac{MC}{BM}=1\)
よってBM:MC=1:1となりMはBCの中点。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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