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上野竜生です。今回は分数式の四則演算と繁分数の計算を紹介します。基本的にはただの数字でやってきた四則演算（通分・約分）をするだけです。文字式での計算になるので因数分解や展開を自由自在に操れないと難しいです。
例題１
次の計算をせよ
(1) \(\displaystyle \frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{x^2+3x+2} - \frac{1}{x} \)
(2) \(\displaystyle \frac{x^2+4x+3}{x^2-4x+3} \times \frac{x^2-7x+12}{x^2+5x+4} ÷ \frac{x^2-x-12}{x^2+3x-4} \)
(1) \(\displaystyle \frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{x^2+3x+2} - \frac{1}{x} \)
(2) \(\displaystyle \frac{x^2+4x+3}{x^2-4x+3} \times \frac{x^2-7x+12}{x^2+5x+4} ÷ \frac{x^2-x-12}{x^2+3x-4} \)
答え(1)通分する
\(\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{x} \\ = \displaystyle \frac{(x+2)+x-(x^2+3x+2)}{x(x+1)(x+2)} \\ =\displaystyle \frac{-x^2-x}{x(x+1)(x+2)}=\frac{-x(x+1)}{x(x+1)(x+2)}=-\frac{1}{x+2}\)
\(\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{x} \\ = \displaystyle \frac{(x+2)+x-(x^2+3x+2)}{x(x+1)(x+2)} \\ =\displaystyle \frac{-x^2-x}{x(x+1)(x+2)}=\frac{-x(x+1)}{x(x+1)(x+2)}=-\frac{1}{x+2}\)
前半の計算は部分分数分解すると工夫できます。
\( \displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \\ \displaystyle \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} \)
なので求める式は
\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x}= -\frac{1}{x+2} \)
\( \displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \\ \displaystyle \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} \)
なので求める式は
\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x}= -\frac{1}{x+2} \)
答え(2)
\(\displaystyle \frac{(x+1)(x+3)}{(x-1)(x-3)} \cdot \frac{(x-3)(x-4)}{(x+1)(x+4)} \cdot \frac{(x+4)(x-1)}{(x-4)(x+3)} =1 \)
\(\displaystyle \frac{(x+1)(x+3)}{(x-1)(x-3)} \cdot \frac{(x-3)(x-4)}{(x+1)(x+4)} \cdot \frac{(x+4)(x-1)}{(x-4)(x+3)} =1 \)
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例題２
次の計算をせよ。
(1)\(\displaystyle \frac{\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}}{\frac{1+x}{1-x}-\frac{1-x}{1+x}} \)
(2)\(\displaystyle 1-\frac{2}{1-\frac{3}{1-\frac{4}{5+x}}} \)
(1)\(\displaystyle \frac{\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}}{\frac{1+x}{1-x}-\frac{1-x}{1+x}} \)
(2)\(\displaystyle 1-\frac{2}{1-\frac{3}{1-\frac{4}{5+x}}} \)
１つずつ丁寧に計算するか分母分子におなじものをかけて整理します。
答え(1)分母分子に(1+x)(1-x)をかけると
\(\displaystyle \frac{(1+x)^2+(1-x)^2}{(1+x)^2-(1-x)^2}=\frac{2x^2+2}{4x}=\frac{x^2+1}{2x} \)
＜別解 １つずつ丁寧に計算する＞
分子=\(\displaystyle \frac{(1+x)^2 + (1-x)^2}{1-x^2}=\frac{2x^2+2}{1-x^2} \)
分母=\(\displaystyle \frac{(1+x)^2 - (1-x)^2}{1-x^2}=\frac{4x}{1-x^2} \)
より
\(\displaystyle \frac{2x^2+2}{1-x^2}\cdot \frac{1-x^2}{4x} = \frac{x^2+1}{2x} \)
(2)下から計算する。
\(\displaystyle 1-\frac{4}{5+x} = \frac{x+5-4}{x+5}= \frac{x+1}{x+5} \)
\(\displaystyle 1-\frac{3}{\frac{x+1}{x+5}} = 1-\frac{3x+15}{x+1}= \frac{x+1-3x-15}{x+1}=\frac{-2x-14}{x+1} \)
\(\displaystyle 1-\frac{2}{\frac{-2x-14}{x+1}}=1+\frac{x+1}{x+7}=\frac{2x+8}{x+7} \)
\(\displaystyle \frac{(1+x)^2+(1-x)^2}{(1+x)^2-(1-x)^2}=\frac{2x^2+2}{4x}=\frac{x^2+1}{2x} \)
＜別解 １つずつ丁寧に計算する＞
分子=\(\displaystyle \frac{(1+x)^2 + (1-x)^2}{1-x^2}=\frac{2x^2+2}{1-x^2} \)
分母=\(\displaystyle \frac{(1+x)^2 - (1-x)^2}{1-x^2}=\frac{4x}{1-x^2} \)
より
\(\displaystyle \frac{2x^2+2}{1-x^2}\cdot \frac{1-x^2}{4x} = \frac{x^2+1}{2x} \)
(2)下から計算する。
\(\displaystyle 1-\frac{4}{5+x} = \frac{x+5-4}{x+5}= \frac{x+1}{x+5} \)
\(\displaystyle 1-\frac{3}{\frac{x+1}{x+5}} = 1-\frac{3x+15}{x+1}= \frac{x+1-3x-15}{x+1}=\frac{-2x-14}{x+1} \)
\(\displaystyle 1-\frac{2}{\frac{-2x-14}{x+1}}=1+\frac{x+1}{x+7}=\frac{2x+8}{x+7} \)
このような計算を直接問う問題は低難度大学の小問集合ではあるかもしれませんが中堅大学以上ではほぼ見ません。しかし，たとえば\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1} \)としてf(f(x))を考える問題などで使うので中堅大学以上を狙う人も当たり前のようにできる必要があります。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
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