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上野竜生です。今回は判別式を紹介します。判別式を使った応用問題も紹介します。判別式は便利でよく使いますよ。
2次方程式\( ax^2+bx+c=0 \)の解は解の公式より
\[ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
このルートの中が0以上かどうかで実数解の個数が変わる。そこでルートの中身を判別式として定義して，Dで表す。
POINTxについての2次方程式\( ax^2+bx+c=0 \)において\( D=b^2-4ac \)を判別式という。
D>0のとき，実数解は2個。
D=0のとき，実数解は1個。
D<0のとき，実数解は0個。
注:2次方程式の判別式なのでa≠0であることが前提です。a=0のときは1次式以下なのでこの判別式は使えません。場合分けしましょう。
D>0のとき，実数解は2個。
D=0のとき，実数解は1個。
D<0のとき，実数解は0個。
注:2次方程式の判別式なのでa≠0であることが前提です。a=0のときは1次式以下なのでこの判別式は使えません。場合分けしましょう。
例題１
次の方程式の実数解の個数をaの値によって場合分けして求めよ。
(1) \(x^2+ax+a=0\)
(2) \( (a+3)x^2+2ax+4=0 \)
(1) \(x^2+ax+a=0\)
(2) \( (a+3)x^2+2ax+4=0 \)
答え(1)判別式をDとすると
\( D=a^2-4a=a(a-4) \)
D>0つまりa<0またはa>4のとき実数解2個。
D=0つまりa=0,4のとき実数解1個。
D<0つまり0<a<4のとき実数解0個。
(2)a=-3のとき1次方程式-6x+4=0は実数解1個。
a≠-3のとき2次方程式\( (a+3)x^2+2ax+4=0\)の判別式をDとすると
D/4=\( a^2-4(a+3)=(a-6)(a+2) \)
D>0つまりa<-2またはa>6(a≠-3)のとき実数解2個。
D=0つまりa=-2,6のとき実数解1個。
D<0つまり-2<a<6のとき実数解0個。
以上をまとめると
a>6または-3<a<-2またはa<-3のとき2個。
a=-3,-2,6のとき1個。
-2<a<6のとき0個。
\( D=a^2-4a=a(a-4) \)
D>0つまりa<0またはa>4のとき実数解2個。
D=0つまりa=0,4のとき実数解1個。
D<0つまり0<a<4のとき実数解0個。
(2)a=-3のとき1次方程式-6x+4=0は実数解1個。
a≠-3のとき2次方程式\( (a+3)x^2+2ax+4=0\)の判別式をDとすると
D/4=\( a^2-4(a+3)=(a-6)(a+2) \)
D>0つまりa<-2またはa>6(a≠-3)のとき実数解2個。
D=0つまりa=-2,6のとき実数解1個。
D<0つまり-2<a<6のとき実数解0個。
以上をまとめると
a>6または-3<a<-2またはa<-3のとき2個。
a=-3,-2,6のとき1個。
-2<a<6のとき0個。
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例題２
(1)\(y=x^2+ax+5 \)とx軸の交点の個数をaの値によって場合分けして求めよ。
(2)\( y=ax^2-x+1\)がx軸に接するようなaの値を求め，そのときの接点を求めよ。
(2)\( y=ax^2-x+1\)がx軸に接するようなaの値を求め，そのときの接点を求めよ。
y=f(x)とx軸との交点のx座標はf(x)=0の解なので交点の個数＝実数解の個数です。よって判別式で求めることができます。(2)では，接するということは交点1個であることが必要なのでやはり判別式が使えます。
答え(1)判別式をDとすると\( D=a^2-20 \)
よってD>0のときつまり\( a<-2\sqrt{5},a>2\sqrt{5} \)のとき交点2個。
D=0のときつまり\( a=\pm 2\sqrt{5} \)のとき交点1個。
D<0のときつまり\( -2\sqrt{5}<a<2\sqrt{5} \)のとき交点0個。
(2)判別式をDとするとD=0のとき接する。
\( D=1-4a=0\)より\(\displaystyle a=\frac{1}{4} \)
このとき\(\displaystyle \frac{1}{4}x^2-x+1=\frac{1}{4}(x-2)^2 \)なので交点のx座標はx=2。つまり交点は(2,0)。
よってD>0のときつまり\( a<-2\sqrt{5},a>2\sqrt{5} \)のとき交点2個。
D=0のときつまり\( a=\pm 2\sqrt{5} \)のとき交点1個。
D<0のときつまり\( -2\sqrt{5}<a<2\sqrt{5} \)のとき交点0個。
(2)判別式をDとするとD=0のとき接する。
\( D=1-4a=0\)より\(\displaystyle a=\frac{1}{4} \)
このとき\(\displaystyle \frac{1}{4}x^2-x+1=\frac{1}{4}(x-2)^2 \)なので交点のx座標はx=2。つまり交点は(2,0)。
a=0のときも実数解は1個ですが，1次式のときは接しているとはいいません。もし共有点が1個になるようなaを求めよ，であればa=0も答えに入れましょう。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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