当サイトは、PRを含む場合があります。
上野竜生です。今回は\( |\vec{a}+t\vec{b}| \)の最小値の問題を扱います。簡単ですが，図形的意味がありますので紹介します。基礎がしっかりできているならサラっと読むだけで良いレベルです。
問題
\(\vec{a}=(0,5),\vec{b}=(2,-1) \)とする。
(1)\(| \vec{a}+t\vec{b} | \)の最小値とそのときの実数tの値を求めよ。
(2)\( \vec{a}+s\vec{b} \)と\(\vec{b}\)が垂直になるような実数sの値を求めよ。
(1)\(| \vec{a}+t\vec{b} | \)の最小値とそのときの実数tの値を求めよ。
(2)\( \vec{a}+s\vec{b} \)と\(\vec{b}\)が垂直になるような実数sの値を求めよ。
答え(1)\(| \vec{a}+t\vec{b} |\geq 0 \)だから\(| \vec{a}+t\vec{b} |^2 \)が最小となるとき\(| \vec{a}+t\vec{b} | \)も最小。
\( \vec{a}+t\vec{b}=(2t,5-t) \)より
\(| \vec{a}+t\vec{b} |^2 \\ =(2t)^2+(5-t)^2 \\ = 5t^2-10t+25 \\ =5(t-1)^2+20 \)
よりt=1のとき\(| \vec{a}+t\vec{b} |^2 \)は最小値20をとるので
\(| \vec{a}+t\vec{b} | \)はt=1のとき最小値\(2\sqrt{5} \)をとる。
(2) \(\vec{a}+s\vec{b}=(2s,5-s) \)
\( (\vec{a}+s\vec{b})\cdot \vec{b}\\ =4s-(5-s)=5s-5 \)
垂直条件より内積が0だからs=1
\( \vec{a}+t\vec{b}=(2t,5-t) \)より
\(| \vec{a}+t\vec{b} |^2 \\ =(2t)^2+(5-t)^2 \\ = 5t^2-10t+25 \\ =5(t-1)^2+20 \)
よりt=1のとき\(| \vec{a}+t\vec{b} |^2 \)は最小値20をとるので
\(| \vec{a}+t\vec{b} | \)はt=1のとき最小値\(2\sqrt{5} \)をとる。
(2) \(\vec{a}+s\vec{b}=(2s,5-s) \)
\( (\vec{a}+s\vec{b})\cdot \vec{b}\\ =4s-(5-s)=5s-5 \)
垂直条件より内積が0だからs=1
このように(1)のtと(2)のsは一致します。これは図形的意味を考えればわかると思います。
\( \vec{a}+t\vec{b} \)は下の図のような青い直線を描きます。
直線上の点で(1)の値が最小になる点をPとするとこれは原点とPの距離が最小になる点になります。最小のときOPと直線は垂直に交わりますね。(2)は垂直の条件ですからもちろん結果は同じになるのです。なので(1)と(2)は同値なものを計算していたということになります。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
