今週の問題

上野竜生です。問47の答えを発表します。 問47　★ xy平面において原点と点(6,0),(-3,9)を通る放物線Cは直線y=-3を接線にもつという。このような放物線Cの方程式をすべて求めよ。   答え 一般に […]

上野竜生です。問46の答えを発表します。 問46　★ \( f(x)=x^2 e^x \)とする。サイコロをn回投げて出た目の和をNとし、f(x)をxでN回微分した関数をf(N)(x)とする。 f(N)(0)が3の倍数に […]

上野竜生です。問45の答えを発表します。 問45　★ 数列{an}は次の漸化式を満たす。 ・\(a_1=100, a_2=200 \) ・\((n+2)a_{n+2}+(n+1)a_{n+1}+na_n =0 (n \g […]

上野竜生です。問44の答えを発表します。 問44　★ 次の3条件をすべて満たす自然数nは存在するか？ <条件1>　nを2019で割った余りは1ではない。 <条件2>　n2を2019で割った余りは1 […]

上野竜生です。問43の答えを発表します。 問43　★ 2a+2b+2cが10以下の整数となるような整数(a,b,c)の組は何個あるか   答え X=2a+2b+2cとする。明らかにX>0である。 a,b, […]

上野竜生です。問42の答えを発表します。 問42　★ \(\displaystyle \int_2^{\pi} \frac{\tan{x}}{\tan{x}+\tan{(2-x)}}dx \)の値を求めよ。   […]

上野竜生です。問41の答えを発表します。 問41　★ \(\displaystyle \log_{2}{x}+\log_{3}{x}=\log_{a}{x} \)を満たす定数aの値は\(\displaystyle a=( […]

上野竜生です。問40の答えを発表します。 問40　★ 6つの面に「０」「０」「０」「１」「１」「２」と書かれた六面体のサイコロをn回投げたとき、出た目の積が2以下になる確率をpnとする。pnが最小となるのはnがいくらのと […]

上野竜生です。問39の答えを発表します。 問39　★ 関数f(x)とg(x)を次のように定める。 ・\(\displaystyle f(x)=\frac{5}{9}x^2 - \frac{10}{3}|x|+29 \) […]

上野竜生です。問38の答えを発表します。 問38　★ xが実数全体を動くとき\( \displaystyle 3^x+2^x+\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x} \)の最小値を求めよ。   […]

上野竜生です。問37の答えを発表します。 問37　★ pq+qr+rp=1111を満たす素数の組(p,q,r)をすべて求めよ。 p≦q≦rを満たすものだけで良い。   答え 【方針】素数は小さいほうから2,3, […]

上野竜生です。問36の答えを発表します。 問36　★ 2次方程式 x2+(2i+3)x+(3i+k)=0の実数解の個数が1個となるとき、実数kの値を求めよ。 iは虚数単位である。   答え ×　よくある誤答例 […]

上野竜生です。問35の答えを発表します。 問35　★ 放物線C: y=x2+2x+4と、原点を通る直線ℓがある。 Cとℓの共有点の個数がちょうど1個となるとき、直線ℓの方程式をすべて求めよ。   答え ℓがy軸 […]

上野竜生です。問34の答えを発表します。 問34　★ 初項a,公比rの等比数列{an}が等差数列にもなるとき，a,rについての必要十分条件を求めよ。   答え 必要条件 a1,a2,a3が等差数列になる（a1+ […]

上野竜生です。問33の答えを発表します。 問33　★ 面積が8の正八角形の8つの頂点から無作為に3つを選んで三角形をつくるとき、その三角形の面積が2となる確率を求めよ。   答え 8個の頂点から3つの頂点を選ぶ […]