aのb乗をNで割った余り
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上野竜生です。abをNで割った余りを求める問題を解いてみます。 「余り」の別表現 小学校では30÷7=4あまり2などと表現しましたが一般に N÷a=bあまりrであることを次のように表現することができます。 N=a・b+r […]
2次試験対策
数IIの式と証明3パターン（比例式・少なくとも1つは○・すべて△の証明）
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上野竜生です。数IIで出てくる式と証明のなかで数II特有の3パターンを紹介します。3パターンとはズバリ！比例式・少なくとも1つは○である・すべて△であることの証明です。 比例式は=kとおけ！ （制約条件）が成立するとき（ […]
球面と球面の共通部分、球面と平面の共通部分
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上野竜生です。今回は球面と球面の共通部分に関する問題と、球面と平面の共通部分に関する問題を扱います。私立大学など1問の重み（配点）が低い問題をたくさん出題する大学ではよく聞かれます。難関大国公立大学のような1問が高配点の […]
多変数関数の解析の基本～まずはここから～
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上野竜生です。多変数関数はどこから手を付ければいいのかわからず困ることも多いと思います。こんなことやっていいのかな？と思うことも多いと思うので実際にいくつかのパターンを見てみましょう。 文字を消去できるなら […]
平均値の定理の応用（漸化式の極限）
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上野竜生です。平均値の定理の応用として解けない漸化式の極限の問題を扱います。東大とかでも出題されたりするレベルなので難関大学向けです。中堅大学でも誘導付きで出るかもしれませんが今回は誘導なしの一発勝負の問題を出題します。 […]
無理数であることの証明
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上野竜生です。数学でよくある無理数の証明方法についてまとめてみました。基本的に直接は示せないので背理法（有理数と仮定して矛盾を導く）を使います。 有理数・無理数とは？ 整数a,bを用いてa/b（分数）の形に書けるものを有 […]
カテナリー(双曲線関数)の性質(面積や曲線の長さ)まとめ
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上野竜生です。カテナリーの性質をまとめていきます。 カテナリー（懸垂線）とは カテナリーとは曲線\( \displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)のことです。相加相乗平均の関係よりy≧1は […]
マニアックな漸化式の解法
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上野竜生です。最近の漸化式は通常のan+1=pan+q型か隣接3項間漸化式だけ解ければかなり解けるようになりました。しかしライバルと差をつけたいなど好奇心がある人向けに出題頻度は少ないが一応出題されうる変わった漸化式を紹 […]
合同式 書き方に注意
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上野竜生です。合同式は便利ですが書き方を間違えている人，少し意味を間違えている人が多いです。そこで書き方に注意して書けるようにしましょう。 Aをnで割った余りとaをnで割った余りが等しいとき A≡a (mod n) とか […]
2つの事象が独立であるとは？
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上野竜生です。2つの事象が独立であるということについて紹介します。 定義 POINT2つの事象A,Bが独立⇔P(A∩B)=P(A)P(B)が成り立つ 通常は「独立であるからP(A∩B)=P(A)P(B)」 という風に⇒の […]
2次方程式が異なる2つの正の実数解を持つ条件は「は・じ・き」
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上野竜生です。今回は2次方程式が異なる2つの正の実数解を持つ条件，正の解と負の解を１つずつもつ条件を扱います。応用なんですけれど，応用パターンが多すぎてもはや基本になりますのでここは理解＋丸暗記（時間削減のため）＋たくさ […]