数Aの整数問題です。実際にはもっと複雑な知識がいるとは思いますが不定方程式や約数など基本的なものを中心に扱います。
不定方程式
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上野竜生です。不定方程式の解き方を勉強します。 基本パターン２つを詳しく説明し，応用パターンを軽く紹介します。 基本パターン１：axy+bx+cy=dのパターン この場合は無理やり\( axy+bx+cy=d\)を\( […]
数A 整数
不定方程式を解く基本2パターン（大小関係の設定と因数分解）
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上野竜生です。整数問題の基本・不定方程式を解くときの基本パターンを2つ紹介します。 パターン１：大小関係の設定 例題１：\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\fr […]
√(2次関数)が整数となるnの値は？
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上野竜生です。√2次式が整数になるようなnの値を求める問題の解法を紹介します。 基本：＝Nとおき両辺を2乗する。 例題１：\( \sqrt{n^2-45} \)が整数となるような整数nの値をすべて求めよ。 答え\( \s […]
分数で書かれた式が整数となるnの値は？
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上野竜生です。分数で書かれた式が整数となるような整数(自然数)nの値を求めるパターンの解き方を紹介します。 例題１ 「\(\frac{a}{n}\)が整数⇔nはaの約数」を使うパターン \(\displaystyle \ […]
ユークリッドの互除法 大体は使わなくてもできますが・・・
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上野竜生です。○x＋△y=1を満たす整数x,yの組を1組見つけるのがユークリッドの互除法の大きなメリットです。その方法を解説します。なお，見つけた後の応用分野については別の記事で行います。 ユークリッドの互除法とは本来は […]
ユークリッドの互除法の応用
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上野竜生です。前回はユークリッドの互除法を用いてa,bが互いに素なとき，ax+by=1を満たす整数x,yを求めることをしました。今回はその部分はできるものとして応用を紹介していきたいと思います。 右辺=1で […]
素因数分解のやり方・簡単な応用問題
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上野竜生です。素因数分解ができない人のために素因数分解の基本と、単純に「素因数分解せよ」という問題以外で簡単な応用問題も紹介します。 素因数分解とは すべての自然数Nは素数p1,p2,・・・,pnと0以上の整数k1,k2 […]
素因数分解と約数の個数などの性質
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上野竜生です。素因数分解はできると思いますが（一応復習します），それを利用していろいろな問題が解けます。その応用例を（裏技も含めて）紹介していきたいと思います。 素因数分解とは すべての整数Xは素数の積で書くことができる […]
○の倍数判定法まとめ
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上野竜生です。○の倍数の問題は本来中学入試レベルですが，大学入試でも場合の数の問題などでたまに出るので紹介します。基本的に証明はほぼワンパターンです。 2・４・８の倍数 2の倍数 下1ケタが2の倍数 4の倍数 下2ケタが […]
素数の性質・素数を利用した基本問題
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上野竜生です。入試問題で「素数」という条件がよく出ます。素数の性質はたくさんあるのでどれを使うのか難しいですが，今回は性質をまとめてみました。役立ててください。 素数の性質 ・1とその数自身以外に正の約数をもたない整数を […]
n!はmで何回割り切れるか問題
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上野竜生です。○！は△で何回割り切れるか？というタイプの問題を解説します。 パターン１ 基本（mが素数の場合） 100!は2で何回割り切れるか？ 答え1から100までの中に 2で割り切れるものは50個ある。（この時点で5 […]
aのb乗をNで割った余り
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上野竜生です。abをNで割った余りを求める問題を解いてみます。 「余り」の別表現 小学校では30÷7=4あまり2などと表現しましたが一般に N÷a=bあまりrであることを次のように表現することができます。 N=a・b+r […]
合同式 書き方に注意
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上野竜生です。合同式は便利ですが書き方を間違えている人，少し意味を間違えている人が多いです。そこで書き方に注意して書けるようにしましょう。 Aをnで割った余りとaをnで割った余りが等しいとき A≡a (mod n) とか […]
連続n整数の積は何の倍数？
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上野竜生です。連続n整数の積が○の倍数であることはよく使います。実際に確認してみましょう。なお，基本的には結果だけ覚えればいいでしょう。 連続2整数の積 n×(n+1)は必ず2の倍数になる。 [証明]nが偶 […]